角的概念的推廣

課  題： 角的概念推廣（第一課時） 教學(xué)目的： 1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解并掌握“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。 2.掌握所有與α角終邊相同的角(包括α角)的表示方法。 3.從“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的過程，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動變化觀點(diǎn)審視事物，從而深刻理解推廣后的角的概念。 教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握正角負(fù)角零角的定義，掌握終邊相同的角的表示方法。 教學(xué)難點(diǎn)：終邊相同的角的表示 內(nèi)容分析： 本節(jié)主要介紹推廣角的概念，引入正角、負(fù)角、零角的定義，象限角的概念，終邊相同的角的表示方法。樹立運(yùn)動變化的觀點(diǎn)，理解靜是相對的，動是絕對的，并由此深刻理解推廣后的角的概念。教學(xué)方法可以選為討論法，通過實(shí)際問題，使角的推廣變得更為必要，如螺絲扳手緊固螺絲、時針與分針、車輪的旋轉(zhuǎn)等等，都能形成角的概念，給學(xué)生以直觀的印象，形成正角、負(fù)角、零角的概念，突出角的概念的理解與掌握。通過具體問題，讓學(xué)生從不同角度作答，理解終邊相同的角的概念，并給以表示，從特殊到一般，歸納出終邊相同的角的表示方法，達(dá)到突破難點(diǎn)之目的。 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．回憶：初中是如何定義角的？ 從一個點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形。 這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解，角的范圍是 ，但其僅從圖形的形狀來定義角，弊端在于“狹隘”。 2．生活中很多實(shí)例會不在范圍 如：體操運(yùn)動員轉(zhuǎn)體 ，跳水運(yùn)動員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體 經(jīng)過1小時時針、分針、秒針轉(zhuǎn)了多少度？ 這些例子不僅不在范圍 ，而且方向不同，有必要將角的概念推廣到任意角，用運(yùn)動的思想來研究角的概念。 二、講解新課：   1．角的概念的推廣 ⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角 一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)． 突出“旋轉(zhuǎn)”  注意：“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊” ⑵．“正角”與“負(fù)角”“零角” 我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，把按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，“正角”與“負(fù)角”是由旋轉(zhuǎn)的方向決定的。 特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認(rèn)為這時形成了一個角，并把這個角叫做零角．記法：角 或   可以簡記成 。 ⑶意義 用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了。 1° 角有正負(fù)之分    如：a=210°     b=-150°    g=660° 2° 角可以任意大     實(shí)例：體操動作：旋轉(zhuǎn)2周（360°×2=720°） 3周（360°×3=1080°） 3° 還有零角     一條射線，沒有旋轉(zhuǎn) 角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．要注意，正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量。 2．“象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角 角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與 軸的正半軸重合，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個象限,我們稱其為界限角） 下面由學(xué)生自己分別舉出終邊在一、二、三、四象限的角以及界限角(各舉兩例) 例如：30°、390°、-330°是第一象限角，-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角，300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。 3．終邊相同的角  ⑴觀察：390°，-330°角，它們的終邊都與30°角的終邊相同 ⑵探究：終邊相同的角都可以表示成一個0°到360°的角與 個周角的和：   390°=30°+ 360°         -330°=30°-360°                        30°=30°+0×360°       對于任意一個角，若其終邊與 相同，那么它們之間都相差360°的整數(shù)倍，則 ，                        ， ，                     ， ，                      等它們的始邊和終邊都相同。 ⑶結(jié)論：所有與角 終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合： （即：任何一個與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和。） ⑷注意以下四點(diǎn)： (1) ； (2) a是任意角； (3) 與a之間是“+”號， 如 -30°，應(yīng)看成 +(-30°)； (4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍． 三、講解范例： 例1：寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并指出它們是哪個象限的角 （1）          （2）           （3）           （4） 解：（1）與 終邊相同的角的集合是    因?yàn)?是第一象限角，所以集合 中的角都是第一象限的角。     （2）與 終邊相同的角的集合是    因?yàn)?是第二象限角，所以集合 中的角都是第二象限的角。 （3）與 終邊相同的角的集合是    因?yàn)?是第三象限角，所以集合 中的角都是第三象限的角。 （4）與 終邊相同的角的集合是    因?yàn)?是第四象限角，所以集合 中的角都是第四象限的角。 四、課堂練習(xí)： 1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？ (答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90°的角可能是零角或負(fù)角故它不一定是銳角) 2．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的正半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？ (1)420°，(2)-75°，(3)855°，(4)-510°． (答：(1)第一象限角，(2)第四象限角，(3)第二象限角，(4)第三象限角) 作圖時應(yīng)注意：頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的正半軸上（圖略） 五、小結(jié)：  本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何象限．本節(jié)課重點(diǎn)是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法．嚴(yán)格區(qū)分“終邊相同”和“角相等”；“界限角”“象限角”； “小于90°的角”“第一象限角”和“銳角”的不同意義.? 六、課后作業(yè)： 1.下列命題中正確的是(    ) A.第一象限的角一定不是負(fù)角           B.第二象限角一定是鈍角 C.第四象限角一定是負(fù)角                     D.若β＝α＋ｋ·360°（ｋ∈Ｚ），則α與β終邊相同 2.下列角中,與 終邊相同的角是(    ) A.            B.           C.            D. 3.如果 ，那么角 是(    ) A.第一象限角         B.第二象限角       C.第三象限角       D.第四象限角 4.若角α與β終邊相同，則一定有(    ) A.α＋β＝180°                    B.α＋β＝0°     C.α－β＝ｋ·360°，ｋ∈Ｚ        D.α＋β＝ｋ·360°，ｋ∈Z 5.鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各轉(zhuǎn)了            (填度). 6.在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角,并判斷各為第幾象限角(或界限角). (1)360°   (2)720°    (3)1080°    (4)1440° 參考答案：1.D  2.B  3.C  4.C  5. －120°－1440°6.(略)

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