讓教學(xué)設(shè)計更符合學(xué)生的認(rèn)知
摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)難點之所以成為難點，一是由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)難以“容納”這一知識，二是由于教師的教學(xué)設(shè)計難以找到適當(dāng)?shù)那腥朦c。新知識應(yīng)該如何“修剪”得適合學(xué)生吸收，如何使學(xué)生“活動”起來，做適合
他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動。一、復(fù)雜方法簡約化；二、前后呼應(yīng)流暢化；三、實際問題逐步數(shù)學(xué)化；四、形式理解溯源化；五、借助幾何意義動態(tài)化。
關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué)難點 認(rèn)知 教學(xué)設(shè)計
我們在教學(xué)實踐、觀課活動或與同行的交流中，常有這樣的同感：課前對一些內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計在課堂上實施時，感到不自然，無法與學(xué)生產(chǎn)生共鳴，或自圓其說，或越俎代皰，或生拉硬扯。這些數(shù)學(xué)內(nèi)容稱之為數(shù)學(xué)教學(xué)難點，數(shù)學(xué)教學(xué)難點之所以成為難點，一是由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)難以“容納”這一知識，二是由于教師的教學(xué)設(shè)計難以找到適當(dāng)?shù)那腥朦c。
按照皮亞杰的觀點，對客體的認(rèn)識是一個“同化”的過程，即如何把對象納入（整合）到已有的認(rèn)識框架（認(rèn)知結(jié)構(gòu)）之中；也只有借助于同化過程，客體才獲得真正的意義。與此同時，認(rèn)識框架本身也有一個不斷發(fā)展或建構(gòu)的過程，特別是，在已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)無法“容納”新的對象的情況下，主體就必須對已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)變革，以使其與客體相適應(yīng)，這就是所謂的“順應(yīng)”。
教學(xué)設(shè)計就是設(shè)計教學(xué)情境，幫助學(xué)生逐步將數(shù)學(xué)難點與頭腦中已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗聯(lián)系起來。教師的作用是為學(xué)生的參與創(chuàng)造適宜的挑戰(zhàn)環(huán)境，學(xué)生思維的發(fā)生和發(fā)展過程，去了解學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，分析他的主觀感知有什么問題，新知識應(yīng)該如何“修剪”得適合學(xué)生吸收，如何使學(xué)生“活動”起來，做適合他的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的活動。
1、復(fù)雜方法簡約化
人的認(rèn)識總是不斷在反思中發(fā)展、前進(jìn)，思維不斷在清晰化——明朗化——簡約化的過程中得到提升。教學(xué)設(shè)計也應(yīng)適時地“修剪”、重組教材（教學(xué)）中內(nèi)容、方法，以適合學(xué)生吸收。
案例1、正弦定理的向量證法。
|
C 
|
B
|
H
|
A
教材用向量的知識證明正弦定理時，在三角形一個角的頂點作垂直于該角一邊的一個單位向量j。學(xué)生覺得單位向量j在三角形的外部，沒有與三角形的點或邊形成封閉的圖形，這與初中平面幾何的輔助線作法相差很大。再者，教材利用j•（+）=j•，再根據(jù)分配律將各向量轉(zhuǎn)化為單位向量j上的投影。此法與學(xué)生已有的經(jīng)驗相去較遠(yuǎn)，理解上費力費時。我們不妨簡化證法，利用學(xué)生已有的經(jīng)驗，作某一邊上的高，各向量向高所在的向量投影，而不用單位向量。如：
C
B
H
A
作AH⊥BC于H，∠BAH=90º-B，∠CAH=90º-C，=||•||cos(90º-B)， =||•||cos(90º-C)，∴||•||cos(90º-B)=||•||cos(90º-C)，
∴||sinB=||sinC，∴csinB= bsinC，∴=
這樣，幫助學(xué)生“自我調(diào)節(jié)”，把平面幾何知識與平面向量知識整合在一起，內(nèi)化為個體自身的思維模式。
2、前后呼應(yīng)流暢化
在引入新對象前剛學(xué)的知識和經(jīng)驗，對下續(xù)新對象的學(xué)習(xí)起著非常強的“暗示”作用，如果突然中斷，而轉(zhuǎn)入另一知識，學(xué)生會顯得不知所措。教學(xué)設(shè)計應(yīng)順勢利導(dǎo)，產(chǎn)生共鳴。
案例2、等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)。
在等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)的教學(xué)中，大家除了介紹教材上的方法外，還介紹其他一些方法，但總覺得引入不自然。因為在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義后，推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式，在方法上與以往的經(jīng)驗不一樣，學(xué)生感到很突然。如果啟發(fā)學(xué)生聯(lián)系等比數(shù)列的定義，就容易得到：
=q ， =q ， =q ，…，=q…… ⑴。轉(zhuǎn)化為 a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q。各式左右分別相加，得 a2 + a3+ a4+…+ an =a1q+ a2q + a3q +…+ an-1q，即 a2 + a3+ a4+…+ an =（a1+ a2 + a3 +…+ an-1 ）q……⑵，往下容易得出：Sn-a1 =（Sn-an）q ， ∴（1-q）Sn=a1-an q，即（1-q）Sn=a1（1- qn），∴當(dāng)q≠1時，Sn=。
當(dāng)然，也可以引導(dǎo)學(xué)生對⑴式結(jié)合等比性質(zhì)或?qū)Β剖浇Y(jié)合Sn= a1+ a2 + a3+ a4+…+ an的特征等方法，讓學(xué)生在“不知不覺”中發(fā)現(xiàn)和“創(chuàng)造”出各種方法。創(chuàng)設(shè)情境，營造交流的氛圍，幫助學(xué)生把新的問題“同化”到已有的認(rèn)識框架（認(rèn)知結(jié)構(gòu)）之中，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用，這是優(yōu)化教學(xué)設(shè)計的目標(biāo)。
3、實際問題逐步數(shù)學(xué)化
現(xiàn)實世界自始自終貫穿在數(shù)學(xué)化之中，我們常把由現(xiàn)實世界直接形成數(shù)學(xué)概念的過程稱為“概念的”數(shù)學(xué)化，它往往隨著不同的認(rèn)知水平而逐漸得到提高。觀察、比較與識別現(xiàn)實世界中的具體問題，并在類比、歸納的實際經(jīng)歷過程中，建立數(shù)學(xué)模型，或是找出其共性與規(guī)律，形成數(shù)學(xué)的抽象與概括，也就是學(xué)會“數(shù)學(xué)化”。
案例3、數(shù)學(xué)歸納法原理。
常見的教學(xué)設(shè)計是以“多米諾骨牌效應(yīng)”引入，這個“效應(yīng)”對學(xué)生而言十分直觀明了，容易接受，但緊接著引出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，特別是第二步歸納假設(shè)用于證明的必要性學(xué)生不易理解，常常出現(xiàn)沒有利用歸納假設(shè)的“偽數(shù)學(xué)歸納法”。究其原因是從多米諾骨牌效應(yīng)的“形象化”，未逐步“數(shù)學(xué)化”，而從直觀到抽象一步到位，學(xué)生無法從中提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)。不妨經(jīng)過簡單的“數(shù)學(xué)化”，提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行變革“順應(yīng)”新的知識。具體步驟是：
第一步：形象化過程（多米諾骨牌效應(yīng)的分析）：一列多米諾骨牌同時具備二個條件：⑴第一塊倒下；⑵假設(shè)某一塊倒下，可保證它后面的一塊也倒下。結(jié)論是什么？
第二步：簡單的數(shù)學(xué)化過程（讓學(xué)生將“多米諾骨牌”換成“偶數(shù)列”）：一個數(shù)列{an}同時具備二個條件：⑴第一個數(shù)是偶數(shù)；⑵假設(shè)某一個數(shù)是偶數(shù)，可證明它后面的一個數(shù)也是偶數(shù)。結(jié)論是：所有的數(shù)都是偶數(shù)。
第三步：理解數(shù)學(xué)本質(zhì)（師生交流、生生交流）：議題：將數(shù)列問題中一個或二個條件中的“偶數(shù)”換成“奇數(shù)”，其結(jié)論有何變化？
4、形式理解溯源化
對形式的理解，首先是對本質(zhì)的理解。很多時候要追溯到形式、概念的定義，以及定義的必要性和合理性。
案例4、反函數(shù)的表示法。
教材中寫道“在函數(shù)x=f —1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù)。但在習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y表示函數(shù)，為此我們常常對調(diào)函數(shù)x=f —1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f —1（x）” 。為什么要把x=f —1（y）改寫成y=f —1（x）？僅僅是因為“習(xí)慣”的原因？學(xué)生感到困惑，教師解釋時感到理由不夠充分。
我想，這要從反函數(shù)的定義以及作用來理解，x=f —1（y）與y=f（x）中，x的取值是相同的，y的取值也是相同的，因此在同一坐標(biāo)系中的圖象是相同的，但表示的意義是不同的，因為自變量與函數(shù)的地位已經(jīng)互換。為了使x=f —1（y）與y=f（x）在同一坐標(biāo)系中有相同地位的量在同一坐標(biāo)軸上，便于研究它們的相互關(guān)系，才“對調(diào)函數(shù)x=f —1（y）中的字母x、y，把它改寫成y=f —1（x）”，這樣一來，x軸就是自變量軸，y軸就是函數(shù)軸。我們可以把這一理解，設(shè)計成提問或問題進(jìn)行交流，在“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的共同體”中，使學(xué)生對數(shù)學(xué)形式和數(shù)學(xué)本質(zhì)有一個“個體創(chuàng)造性的理解”的過程。通過學(xué)生自身主動的建構(gòu)，使新的學(xué)習(xí)材料在學(xué)生頭腦中獲得特定的意義，這就是在新的數(shù)學(xué)材料與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗之間建立實質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系，不斷完善學(xué)生個體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
五、借助幾何意義動態(tài)化
對數(shù)學(xué)對象的認(rèn)識是以頭腦中實際建構(gòu)出這種對象為必要前提的，這種“建構(gòu)”活動并非簡單地理解為如何在頭腦中機械地去重復(fù)有關(guān)對象的形式定義，而是必然包含有一個“具體化”（相對而言）的過程，也即如何把新的數(shù)學(xué)概念與已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗聯(lián)系起來，使之成為對學(xué)習(xí)主體而言是有意義的、可以理解的、十分直觀明了的，也即建立起適當(dāng)?shù)摹靶睦肀碚鳌被颉靶睦硪饬x”。
案例5：奇偶性與周期性的應(yīng)用
已知函數(shù)y=f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=-lg3|x|+2，求：當(dāng)x∈（1，2）時，f（x）的解析式。
這一類題目的解答通常是：∵當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=-lg3|x|+2，∴當(dāng)-1＜x＜0時，0＜-x＜1，又∵y=f（x）是偶函數(shù)，∴f（x）= f（-x）=-lg3|-x|+2=-lg3|x|+2，當(dāng)1＜x＜2時，-1＜x-2＜0，又∵y=f（x）是最小正周期為2的函數(shù)，∴f（x）= f（x-2）=-lg3|x-2|+2。
學(xué)生初次接觸此類題目感到很抽象，不知如何才能把兩個區(qū)間聯(lián)系起來，不清楚解答中x范圍不斷變化的目的。因此，在解答前可啟發(fā)學(xué)生做如下探索：將條件“當(dāng)x∈(0，1)時，f（x）=-lg3|x|+2”改為“當(dāng)x∈(0，1)時，f（x）=-x+2”，并作出圖象——(0，1)上的線段AB（如圖）。第一步：利用“偶函數(shù)”這一條件，關(guān)于y軸對稱得到線段(-1，0)上的AC，第二步：利用“最小正周期為2”這一條件，向右平移2個單位得到(1，2)上的線段BD，（當(dāng)然也可以交換這二步的順序）。
根據(jù)這一動態(tài)順序可逐步理解兩個條件的作用以及x范圍不斷變化的目的，然后再根據(jù)偶函數(shù)與周期的定義，按動態(tài)順序?qū)懗鼋獯疬^程。在這里，偶函數(shù)與周期的幾何意義為解題建立起了適當(dāng)?shù)摹靶睦肀碚鳌被颉靶睦硪饬x”，動態(tài)順序?qū)獯疬^程中邏輯順序的理解起著重要的作用。
教學(xué)設(shè)計是將教學(xué)過程作有目的、有計劃的安排，使各要素盡量達(dá)到較優(yōu)的組合。這就要求教師不僅要系統(tǒng)地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，而且還要進(jìn)行多種多樣的設(shè)計；然后根據(jù)不同的學(xué)情進(jìn)行對比和選擇，促進(jìn)教學(xué)過程的優(yōu)化，并且把優(yōu)化教學(xué)過程理解為一個不斷發(fā)展的過程。
參考文獻(xiàn)：
唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講.華東師范大學(xué)出版社.2001.1
【讓教學(xué)設(shè)計更符合學(xué)生的認(rèn)知】相關(guān)文章： 符合心情的句子10-10 《讓我們更健壯》教學(xué)反思08-23 大學(xué)生瑜伽教學(xué)目標(biāo)認(rèn)知特征的前端分析08-25 大學(xué)生認(rèn)知實習(xí)報告04-26 比__更寶貴的作文08-20 認(rèn)知隱喻與英語詞匯教學(xué)08-19 校服設(shè)計教學(xué)設(shè)計06-07 大學(xué)生企業(yè)認(rèn)知實習(xí)報告01-02 最新大學(xué)生認(rèn)知實習(xí)報告08-25 蘇教版初中生物教學(xué)認(rèn)知08-25
| | | | | | | | |