《函數(shù)性質的運用》案例分析

一、相關背景介紹 建構主義理論告訴我們，學習是學生在原有認知經(jīng)驗基礎上主動建構新知識的過程。這一建構過程實際上需要學生將原有知識與新知識（包括思想、觀點、方法）進行有效組合與溝通。而學生知識、方法的遷移，水平、能力的提高均依賴于這個過程。從這個意義上說，數(shù)學學習實際上是指學生對數(shù)學現(xiàn)象的領悟和實質理解。抽象函數(shù)這部分內容，體現(xiàn)了數(shù)學的高度抽象性和簡潔性，近幾年高考幾乎每年都有類似的題目。由于它的提干都是由抽象的數(shù)學符號給出，因此它對學生閱讀理解數(shù)學語言和符號的能力要求很高。對學生的思維能力是一個大的挑戰(zhàn)。 二、本節(jié)課教學目標 1 、知識與技能 ① 使學生深刻理解函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性等性質。掌握代數(shù)變換的方法。 ② 學會閱讀理解數(shù)學語言和符號，會綜合運用函數(shù)性質解題。 2 、過程與方法 通過讓學生經(jīng)歷閱讀、理解、探索求解的過程，滲透化歸轉化的思想、數(shù)形結合的思想。尋求合理、有效的途徑，解決數(shù)學問題。 3 、情感、態(tài)度、價值觀 使學生領會數(shù)學的抽象性和嚴謹性，培養(yǎng)他們實事求是的科學態(tài)度，積極參與和勇于探索的精神。 4 、重點：綜合運用函數(shù)性質解題 難點：對文字語言、符號語言、圖形語言三種語言的理解和相互轉換。 三、設計理念 1 、首先通過復習函數(shù)的性質導入，訓練學生對數(shù)學的文字語言、符號語言和圖形語言這三種語言的相互轉換 2 、例 1 的設計的意圖是： 加深學生對函數(shù)概念、性質的理解。教學生學會閱讀、理解數(shù)學語言、符號；學會文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化。通過一題多解、一題多思，滲透化歸轉化和數(shù)形結合的思想，以及代數(shù)變換的方法，培養(yǎng)他們的思維能力。課堂形式是：分組討論。 3 、例 2 的設計主要讓學生獨立思考解答 探求多種解法，思考、交流、表達，體現(xiàn)學生主體參與合作學習。 要求學生綜合運用函數(shù)性質解題，提高他們抽象思維能力，問題延伸思考，主要針對較好學生，讓他們課后繼續(xù)鉆研，提高分析問題、解決問題能力，也體現(xiàn)了分層教學的思想。 四、下面是課堂實錄《函數(shù)性質的運用》 師：前面我們已經(jīng)分別復習了函數(shù)的奇偶性、單調性、對稱性及周期性等。今天我們學習函數(shù)性質的綜合運用。請先思考回答以下問題： ① 若函數(shù) f （ x ）是奇函數(shù)，如何用符號表示？用圖形表示？ ② 若給出圖形 請用文字語言敘述它的對稱性，用符號如何表示？ ③ 若 f （ x+2 ） =f （ x ），你能有何結論？如何用文字語言敘述，用符號表示？ 生 1 ： ① f （ -x ） =-f （ x ） 生 2 ： ② 函數(shù) f （ x ）關于 x=1 對稱，即 f （ 1+x ） =f （ 1-x ） 生 3 ： ③ f （ x ）是周期函數(shù)，周期為 T=2 ，示意圖： 師：由 f （ x+2 ） =-f （ x ）你能說出什么信息？ 生： f （ x ）的周期是 T=4 師：為什么？能否用圖象解釋？ 生：將式中的 x 用 x+2 來替代，得到： f （ x+4 ） =-f （ x+2 ） 又因為 -f （ x+2 ） =f （ x ），所以 f （ x+4 ） =f （ x ）即： T=4 但是不太用圖像來解釋 師：提示： 從圖示看出 f （ x+4 ） =f （ x ）的周期為 4 。 總結：通過對函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性等性質的復習，我們要熟悉數(shù)學的文字語言，符號語言，圖形語言三種語言的轉換。 好，下面我們來看例 1 例 1 ：設 f （ x ）是（ -∞ ， +∞ ）上的奇函數(shù)， f （ x+2 ） =-f （ x ），當 0≤x≤1 時， f （ x ） =x ，則 f （ 7.5 ） =? 生 1 ：利用周期性 由 f （ x+2 ） =-f （ x ）可得到 f （ x+4 ） =f （ x ） 所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5 生 2 ：直接利用 f （ x+2 ） =-f （ x ） f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5 師：還有其他方法嗎？ f （ x ）是奇函數(shù)且 f （ x+2 ） =-f （ x ），除了能說出周期 T=4 外，還能說出哪些信息？（師提示） 生： f （ x+2 ） =-f （ x ） =f （ -x ） 而 f （ x+2 ） =f （ -x ）得到 f （ x ）關于直線 x=1 對稱 師：很好，你能否根據(jù)函數(shù)的對稱性、周期性及奇偶性，畫出它的圖象？從而利用圖象來解題呢？ 生： 從圖中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5 師：我們在解題的過程中，應善于利用數(shù)形結合的思想方法，有時能收到意想不到的效果的。 師總結：方法一：主要要求對符號的深刻理解及獲取信息 方法二：利用 f （ x+2 ） =-f （ x ），通過轉化達到解題的目的，滲透了轉化的思想 方法三：利用函數(shù)的幾何性質，通過作圖，利用數(shù)形結合的思想來解題。 下面我們來將這道題目進行變化： 變化 1 ：已知條件不變，問題變?yōu)楫?x ∈ [-1 ， 0] 時，求 f （ x ）的解析式 生 1 ：設 x ∈ [-1 ， 0] 則 -x ∈ [0 ， 1] ∴ f （ -x ） =-x ，又 ∵ f （ -x ） =-f （ x ） ∴ f （ x ） =x ∴ 當 x ∈ [-1 ， 0] 時， f （ x ） =x 師：能否總結一下解題步驟？ 生 2 ：小結：首先要 “ 問啥設啥 ” ，不要把變量設錯了區(qū)間； 第二，把變量轉化到已知區(qū)間上去 最后，再利用函數(shù)的奇偶性、周期性求出 f （ x ）的解析式。 變化 2 ：當 -1≤x≤1 時， f （ x ）的解析式 生：由已知和變化 1 可知當 -1≤x≤1 時， f （ x ） =x 變化 3 ：當 x ∈ [3 ， 5] 時，求 f （ x ）的解析式 生：設 x ∈ [3 ， 5] ，則 x-4 ∈ [-1 ， 1] ∴ f （ x-4 ） =x-4 ∵ T=4 ∴ f （ x ） =x-4 變化 4 ：當 x ∈ [1 ， 3] 時，求 f （ x ）的解析式 生：設 x ∈ [1 ， 3] ，則 x-2 ∈ [-1 ， 1] ∴ f （ x-2 ） =x-2 ∵ T=4 ∴ f （ x-2 ） =f （ x+4-2 ） =f （ x+2 ） =-f （ x ） ∴ -f （ x ） =x-2 ∴ f （ x ） =2-x 師：小結：上面這四個變化訓練要求我們要掌握代數(shù)變換這種數(shù)學方法，體會化歸轉化的思想在解題過程中的運用。 例 2 ：定義在（ -∞ ， +∞ ）上的偶函數(shù) y=f （ x ）滿足關系 f （ x+2 ） =-f （ x ）且 f （ x ）在區(qū)間 [-2 ， 0] 上是增函數(shù)，那么以下結論正確的有 ① y=f （ x ）是周期函數(shù) ② y=f （ x ）的圖象關于直線 x=2 對稱 ③ y=f （ x ）在區(qū)間 [2 ， 4] 上是減函數(shù) ④ f （ ） =f （ ） 生 1 ： ① f （ x ）是周期函數(shù)， T=4 師： ② 分析：要證明直線 x=2 是 y=f （ x ）圖象的對稱軸，只需要證明什么關系式成立？ 生：只需證 f （ 2-x ） =f （ 2+x ） 或證 f （ -x ） =f （ 4+x ） 或證 f （ x ） =f （ 4-x ） 師：那我們選擇證第三個等式 f （ x ） =f （ 4-x ）成立 生： ∵ f （ x ）的周期 T=4 ，且 f （ x ）是偶函數(shù) ∴ f （ 4-x ） =f （ -x ） =f （ x ）即 f （ x ） =f （ 4-x ） ∴ y=f （ x ）圖象的對稱軸 x=2 ③ ：生 1 ：有已知在區(qū)間 [-2 ， 0] 上， y=f （ x ）是增函數(shù)，由于 y=f （ x ）是偶函數(shù)，其圖象關于 y 軸對稱，那么在 [0 ， 2] 上 y=f （ x ）是減函數(shù)，又由于 y=f （ x ）圖象關于直線 x=2 對稱，所以 y=f （ x ）在區(qū)間 [2 ， 4] 上是增函數(shù) 所以結論錯誤 生 2 ：也可以借助于圖象（示意圖）證明 ③ 是錯誤的 ④ ：生 3 ：由于 f （ x ）在區(qū)間 [0 ， 2] 上是遞減的 ∴ f （ ） >f （ ） ∴ 結論錯誤 師：請同學們課后對問題進行延伸思考： 通過以上兩個例題，我們發(fā)現(xiàn)這樣一個結論： 如果 f （ x ）具備奇偶性，同時 f （ x ）的圖象還關于某條直線對稱，則 f （ x ）是周期函數(shù)，你認為這個結論成立嗎？請證明。 課堂總結：（師生共同完成） 要求對函數(shù)性質有深刻的理解及三種數(shù)學語言的理解轉化 掌握代表變換的方法，體會數(shù)形結合、化歸思想在解題過程中的應用 進一步培養(yǎng)學生的抽象思維能力 課堂檢測： 已知定義在 R 上的周期函數(shù) y=f （ x ），周期 T=4 ，若 y=f （ x ）的圖象關于直線 x=2 成軸對稱圖形 求證： y=f （ x ）是偶函數(shù) 五、課后反思 這節(jié)課的教學環(huán)節(jié)，設計比較合理。特別是課前的復習導入，加強學生對數(shù)學的文字語言、符號語言、圖形語言三種語言理解和相互轉換，為突破本節(jié)課的難點做了有益的鋪墊。 例 1 的三種解法和四種變化，從不同的角度和方面加深了學生對函數(shù)有關概念性質的理解，對數(shù)學語言閱讀能力的培養(yǎng)，同時對提高他們的抽象思維能力是極有好處的 學生課堂上的反映熱烈，積極參與，回答問題踴躍。特別是一些平時成績偏下的學生也積極發(fā)言，很想表現(xiàn)自己，渴望得到來勢和同學的認可�？磥�，如果平時也經(jīng)常關注這部分學生，多給他們成功的機會，調動他們參與課堂的積極性，那么他們一定回愿意學，樂于學，學好的 從課堂小測反饋的情況看，有少數(shù)學生對這部分內容的掌握還有困難，不會閱讀，理解數(shù)學符號，因此運用起來感到比較困難，無從下手解題，因此對這部分學生還得加強課后的輔導督促其落實 課堂上程序基本上是老師設計安排好的，沒有讓學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，從而解決問題，這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和能力是有礙的，這也是本人感到困惑的地方，在高三的復習時間緊迫的情況下，在課堂上，如何既讓學生有一定的時間體會探索，發(fā)散思維，甚至充分暴露思維的錯誤，又能按時完成課時進度，落實各個知識點，不影響應試考試的成績。這實在是太難了啊！

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