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對話、建構(gòu)、熏陶
----《倒數(shù)的認識》課堂教學(xué)實錄與評析、反思
1．揭示課題
師：今天我們學(xué)習(xí)倒數(shù)的認識。(板書：倒數(shù)的認識)你們看了這個課題后，想知道什么？
生1：倒數(shù)是什么東西？
師：倒數(shù)不是什么東西，而應(yīng)該是什么知識？(同學(xué)們輕輕地笑了)
生2：數(shù)怎樣倒法？
生3：是不是只有分?jǐn)?shù)有倒數(shù)？
師：也就是說，同學(xué)們想知道倒數(shù)的意義和有關(guān)方法。
教師板書：意義、方法。
師：倒數(shù)的意義和有關(guān)方法課本上都有，我們一看就知道了。重要的是我們在學(xué)習(xí)中要有自己的發(fā)現(xiàn)。我相信你們。
教師板書：發(fā)現(xiàn)(用另一種顏色的粉筆寫)。
［評析：一上課就揭示課題，開門見山，有利于在一節(jié)課的最佳時域直奔重點，突破難點。教師只有確立以學(xué)生為本的理念，充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點和學(xué)習(xí)疑難癥結(jié)，把握學(xué)生跳動的脈搏，才能有針對性地下功夫。］
［反思：課始直奔主題，一是可節(jié)省教學(xué)時間，把更多的時間讓給學(xué)生去思考、去討論。二是對本節(jié)課的舊知識學(xué)生幾乎不存在什么計算上的問題。同時，由于是借班上課，我想降低課始的起點，使學(xué)生產(chǎn)生安全的心理，全身心投入學(xué)習(xí)。］
2．初步理解倒數(shù)的意義
(1)自學(xué)課本。
師：請大家在課本上找到倒數(shù)的意義，讀一讀。
學(xué)生打開課本，尋找倒數(shù)的意義，用筆劃詞句。
(2)復(fù)述意義。
師：請同學(xué)們合上書，誰能說說什么是倒數(shù)？
生1：乘積是1……
師：看來只讀一遍就要記住有一定的難度，誰再來說說？
生2：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。
教師板書：乘積是1的兩個數(shù)----
師：后面是什么，張老師忘了，誰來幫忙？
生3：互為倒數(shù)。
教師接著板書：互為倒數(shù)。
［評析：教師恰到好處地設(shè)置疑問，有利于學(xué)生層層深入地思考。同時，高明的教師有時假裝糊涂，把“聰明”讓給學(xué)生，“張老師忘了，誰來幫忙？”短短的話語滿足了學(xué)生求知探新的成功欲，這是促進學(xué)生有效學(xué)習(xí)的基本策略。這也是張老師課堂教學(xué)的一大特點，在下面的教學(xué)中還有不少類似的對話。］
(3)初步剖析意義。
師：我們讀的時候可以把這句話分成兩部分，你認為該怎么讀？
生1：乘積是1的兩個數(shù)／互為倒數(shù)。
生2：乘積是1的／兩個數(shù)互為倒數(shù)。
師：這兩種讀法究竟哪一種讀法好？同桌同學(xué)討論一下，并說說你的想法。
生3：乘積是1的兩個數(shù)／互為倒數(shù)。
師：為什么這樣讀？
生3：這樣讀很順。
師：你是怎樣讀的？
生4：乘積是1的／兩個數(shù)互為倒數(shù)。
師：同意這樣讀的同學(xué)請舉手。看來，女同學(xué)都支持第一種，男同學(xué)都支持第二種。我也支持第二種的讀法。
教師邊說邊板書：條件(在“乘積是1”的下面劃上紅線)、結(jié)論(在“兩個數(shù)互為倒數(shù)”的下面劃上紅線)。
師：因為有了“乘積是1”的條件，才有“兩個數(shù)互為倒數(shù)”的結(jié)論。
［反思：對倒數(shù)概念的兩種讀法，事后細想，還是第一位學(xué)生的讀法為好，因為“乘積是1”是“兩個數(shù)”的定語，把它們隔開不好，另外，這句話是省略了“它們”兩個字，完整的應(yīng)是“乘積是1的兩個數(shù)，它們互為倒數(shù)”，前面是條件，后面是結(jié)論。］
3．深入探究倒數(shù)的意義
(1)示范舉例。
師：現(xiàn)在老師寫一個算式，大家看看是不是符合這句話的意義？
教師板書：4/5×5/4=1。（生：符合）
師：那你有什么結(jié)論？
生：4/5和5/4互為倒數(shù)。
教師板書：4/5和5/4互為倒數(shù)。
師：在條件前加兩個字……
教師板書：因為板書在4/5×5/4=1的前面。
師：有了因為，就有----
學(xué)生齊聲回答“所以”，教師板書：所以板書在4/5和5/4互為倒數(shù)的前面。
師：誰來把條件、結(jié)論完整地說一說？
生：因為4/5×5/4=1，所以4/5和5/4互為倒數(shù)。
［評析：常常發(fā)現(xiàn)六年級學(xué)生做作業(yè)寫倒數(shù)時，用這樣的形式表示“2/3=3/2”，誤認為等號左邊是已知條件的數(shù)據(jù)，等號右邊是所求的結(jié)果數(shù)據(jù)。教師的示范表述在這里顯得很有必要，這是規(guī)范學(xué)生表述的重要環(huán)節(jié)。］
(2)學(xué)生舉例。
師：每個學(xué)生寫一個這樣的算式，然后讓同桌的同學(xué)照樣子說一說。(學(xué)生練習(xí))
師：你是怎么寫的，說說看？
生：因為2/7×7/2=1，所以2/7和7/2互為倒數(shù)。
(3)深入剖析意義。
①剖析“互為”的含義。(注：以下幾個層次都是以學(xué)生為主提出討論的，教師僅起到穿針引線的作用。小瓣題是在整理課堂實錄后另外加上去的。)
師：我們現(xiàn)在對倒數(shù)的意義有了一定的理解，不過還不夠深入。現(xiàn)在請大家再認真讀一讀、想一想，你能對這句話中的某個字或某個詞理解得更深刻些，向大家解釋得更清楚一些嗎？
［反思：對于概念的教學(xué)，我們的老師大多比較輕視，認為讓學(xué)生讀一二遍記住就達到目的了。其實，這都是表面現(xiàn)象，根本不能促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高。所以，讓學(xué)生關(guān)注基礎(chǔ)知識本身，這是我們數(shù)學(xué)課不能丟的根本，也是實現(xiàn)新課程提出的三維目標(biāo)的關(guān)鍵，重要的是讓學(xué)生在掌握概念的過程中，學(xué)會數(shù)學(xué)思考，體會解決問題所帶來的成功體驗。］
過了幾分鐘，陸續(xù)有五六位學(xué)生舉手。
師：已經(jīng)有同學(xué)想來為大家解釋了，暫時沒有思考出結(jié)果的同學(xué)不要急，過一會兒在聽別人發(fā)言的時候，你一定會有所發(fā)現(xiàn)的�，F(xiàn)在誰來貢獻自己的成果？
生：“互為”就是分?jǐn)?shù)的分子與分母是互質(zhì)數(shù)。
師：是這樣嗎？我剛才看見有一位同學(xué)寫了這樣一個算式：4/6×6/4=1，分?jǐn)?shù)中的4和6就不是互質(zhì)數(shù)�。康�4/6與6/4是互為倒數(shù)，說明這位同學(xué)理解的'互為'不正確。不過這位同學(xué)能聯(lián)想到以前的舊知識，這是一種學(xué)習(xí)的方法，你還記得什么叫互質(zhì)數(shù)嗎？
生：公約數(shù)只有1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。
教師板書：公約數(shù)只有1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。
［反思：學(xué)生提出“互為”就是“互質(zhì)數(shù)”的意思，這是我始料不及的。既然這是學(xué)生的直觀想法，那我們不能回避，所以我從另一個角度來“表揚”他，因為學(xué)生敢回答，就說明他在思考。另外，我們教師的提問，并不都是為了求得正確答案�。〔煌幕卮�，甚至是錯誤的回答，我們處理好了，這就是教學(xué)中一種不可多得的資源。］
師：誰對“互為”有不同的解釋？
生：“互為”是互相成為一個關(guān)系，互為倒數(shù)是指這兩個數(shù)互相成為倒數(shù)關(guān)系。
師：你能根據(jù)具體的例子說一說嗎？
生：4/5是5/4的倒數(shù)，5/4是4/5的倒數(shù)。
教師板書：就是----
師：哎呀！老師忘了，怎么說？
生：4/5是5/4的倒數(shù)，5/4是4/5的倒數(shù)。
教師接著板書：4/5的倒數(shù)就是5/4，5/4的倒數(shù)就是4/5。
教師出示卡片：判斷：2和1/2都是倒數(shù)。( )
師：誰來判斷一下這句話的正誤，請說明理由。
生1：錯了，1/2倒過來是2/1。
生2：對的，因為2可以化成2/1
師：剛才這兩位同學(xué)爭論的是這兩個數(shù)的形式，請大家再想一想，判斷一句話說得是否正確，應(yīng)該怎樣想？
生3：應(yīng)根據(jù)倒數(shù)的意義去判斷。
師：說得好。判斷一句話的正確與否，主要看實質(zhì)，不能僅看表面形式。
生3：錯了。不能說“都是”，應(yīng)該說出誰是誰的倒數(shù)。
生4：錯了，應(yīng)該是2和1/2互為倒數(shù)。
②剖析“乘積是1”的含義。
師：誰再來解釋？
生：我想為大家解釋“乘積是1”，就是一個數(shù)乘一個數(shù)。
師：“我想為大家解釋”，這位同學(xué)非常好，愿意把自己的智慧貢獻出來與大家分享。
教師出示卡片：判斷：因為1/3+2/3=1，所以1/3和2/3互為倒數(shù)。()
生：錯了，因為不是乘積是1，而是和是1。
(4)探究求倒數(shù)的方法。
師：誰想再解釋嗎？
生：我想解釋4/5的倒數(shù)的分子就是4/5的分母，4/5的倒數(shù)的分母就是4/5的分子。
師：你的意思就是互為倒數(shù)的兩個數(shù)，分子、分母的----
生：分子、分母的位置對調(diào)一下。
教師板書：分子、分母調(diào)換位置。
師：你叫什么名字？(生齊說：陳瀟雨)你真了不起，有了自己的發(fā)現(xiàn)。
教師板書：陳瀟雨發(fā)現(xiàn)(板書在分子、分母調(diào)換位置的后面，用紅色粉筆書寫)。
教師板書：
師：你對老師畫的兩個箭頭，有什么想法？
生：5/4是4/5的倒數(shù)，但4/5也是5/4的倒數(shù)，所以不能只畫兩個箭頭。
師：所以，還要----
生：還要畫兩個箭頭。
教師在原來的線上加了兩個從右到左的箭頭。
師：你叫什么名字？（生齊說：周宇明）
教師板書：周宇明發(fā)現(xiàn)(板書在有箭頭式子的右邊)。
［反思：在原來的教學(xué)設(shè)計中，求倒數(shù)的方法是在后面的，但現(xiàn)在學(xué)生提出來了，我就把這個環(huán)節(jié)提上來了，并從中得到啟發(fā)，再一次讓學(xué)生體會“互為”的意思。其實我們只要相信學(xué)生，給他們信念，農(nóng)村孩子的表現(xiàn)照樣會令教師意想不到，這就是教學(xué)相長。］
(5)探索倒數(shù)的特例。
師：誰愿意把自己的智慧繼續(xù)與大家一起分享？
生1：我想解釋“兩個數(shù)”，就是兩個因數(shù)。
師：哈！“互為倒數(shù)”被別人解釋了，“乘積是1”也給別人解釋了，只有這“兩個數(shù)”了。這位同學(xué)的發(fā)言讓大家的注意力集中在“兩個數(shù)”了。誰有不同的想法？
生2：這兩個數(shù)是兩個分?jǐn)?shù)，不是分?jǐn)?shù)的可以化成分?jǐn)?shù)，是整數(shù)的或小數(shù)的都可以化成分?jǐn)?shù)。
師：成倒數(shù)的兩個數(shù)中，應(yīng)該有幾個整數(shù)？
生3：兩個整數(shù)，不！不對，應(yīng)該是一個整數(shù)。
師：誰能舉個例子？
生4：4×1/4=1。
生5：12×1/12=1。
師：他剛才先說兩個整數(shù)，有可能嗎？
生6：不可能，比如5×5=25。
師：(看見學(xué)生舉手，想發(fā)表不同意見，于是指名回答)你說呢！
生7：那1×1不是等于1嗎？確實是兩個整數(shù)啊。
(對方同學(xué)啞口無言，其他同學(xué)也很驚訝：哎！1×1是等于1。)
師：那你是什么意思？
生7：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)(1除外)。
師：請大家找一找，課本上這句話的旁邊有'1除外'嗎？
(學(xué)生打開課本，沒有這句話。)
師：1×1=1符合這句話嗎？（生齊答：符合）那你有什么新的想法？
生7：1的倒數(shù)是1。
師：你叫什么名字？（生：王晨）
教師板書：王晨發(fā)現(xiàn)(板書在“1的倒數(shù)是1”的右邊)。
師：顯然1是一個特殊的數(shù)，還有沒有特殊的數(shù)？
生齊答：0
生1：0除外。
師：課本上在倒數(shù)的意義中，為什么不加“零除外”呢？
生2：因為0×0=0，所以0不能互為倒數(shù)。
生3：0乘任何數(shù)都是0，不可能得到乘積是1。
師：你有什么想法？
生3：……(一時語塞)
師板書：(邊板書邊說：我板書兩個字，你肯定說得出了)沒有。
生3：0沒有倒數(shù)。
教師：“0沒有倒數(shù)”這個發(fā)現(xiàn)好，說明了并不是所有的數(shù)都有倒數(shù)。
師：這個結(jié)論也有張老師一半的智慧哦！(教師的幽默引來了學(xué)生善意的笑聲)你叫什么名字？（生：池靜宜）
這時，有學(xué)生提議：讓池靜宜來寫。
師：你的字一定很漂亮，好吧，請！
該學(xué)生上黑板板書：0沒有倒數(shù)。池靜宜突然停筆，面對老師問：“老師，你的名字要寫嗎？”(學(xué)生都笑了)
師：不要了。謝謝你！你寫的字真漂亮，下了課，你能寫幅書法作品給我嗎？
生：好的！(師生握手，生愉快地走下臺。)
［評析：上面的幾個環(huán)節(jié)，聽課老師課后回味說：“是一幕精彩的話劇，又如嘗到了一道道鮮美的佳肴。”為了深層次地剖析倒數(shù)的意義、方法與特例，確立以學(xué)生為主體，讓學(xué)生主動探究，深入研究，教師因勢利導(dǎo)地板書，恰到好處地表揚與鼓勵。在這樣的對話中，學(xué)生不僅受到數(shù)學(xué)的熏陶，而且更為重要的是情感態(tài)度價值觀的確立，學(xué)會了終身受用的本領(lǐng)，即對一些概念的深層次的理解、內(nèi)化及運用，深刻理解倒數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，同時培養(yǎng)了學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問題的能力。教師在與學(xué)生的心理溝通方面自然親切，在落實建立新型的師生關(guān)系方面為我們作了示范。］
［反思：對于兩個特例“1”和“0”，本課沒有專門由教師提出，而是在學(xué)生的深入思考中得出的，這就是學(xué)生學(xué)習(xí)的成果。當(dāng)下面有學(xué)生提議讓池靜宜來寫時，我順?biāo)隽艘粋�人情，因為屯村小學(xué)是以寫字為教學(xué)特色的，多次被朱永新教授作為例子介紹。學(xué)生在與老師的對話中受到熏陶，有了情感的體驗，真情地流露出：“老師，要不要寫上你的名字？”同時，對于高年級學(xué)生來說，那種單一的語言上的表揚“你真棒！”“不錯！”“了不起！”已激發(fā)不起學(xué)生的持續(xù)的學(xué)習(xí)激情，重要的是使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的樂趣與成功感。在我第二次去屯村小學(xué)聽課時，正好碰到了池靜宜同學(xué)，她不僅與我主動打招呼，還問我是否收到她的作品，我想這就是作為教師的幸福。］
4．綜合練習(xí)
(1)教師出示卡片①：判斷并說出理由：0.25的倒數(shù)是4。( )
生：對的。因為0.25×4=1，所以0.25的倒數(shù)是4。(下略)
教師出示卡片②：2/3×( )=1。
學(xué)生積極舉手，想說答案。
師：老師知道大家都能很快說出答案，我想問的是，這道填空題是什么意思？
生1：求2/3的倒數(shù)是多少。
生2：2/3的倒數(shù)是3/2。
教師出示卡片③：1÷2/3=( )。
師：這個算式又是什么意思？
生1：求2/3的倒數(shù)是多少。
生2：2/3的倒數(shù)是3/2。
卡片④：7×( )=1。
生：7的倒數(shù)是1/7。
卡片⑤：1÷7=( )。
生：7的倒數(shù)是。
師：你能換句話說說嗎？
生：1/7是7的倒數(shù)，7和1/7互為倒數(shù)。
卡片⑥：1/9×( )=1。
生：1/9的倒數(shù)是9。
(2)教師出示卡片⑦：一個數(shù)與它的倒數(shù)的和是8(1/8)，這個數(shù)是( )。
生：這個數(shù)是8。
［反思：在這里由于自己的疏忽，學(xué)生回答了8后，沒有讓學(xué)生繼續(xù)思考“還有沒有其他答案”，而正因為倒數(shù)的“互為”關(guān)系，這題還有另一個答案1/8。教學(xué)真是一門遺憾的藝術(shù)。我們教師要盡量減少這種遺憾。］
(3)教師出示：填空：3×( )=6×( )=9×( )=1。
(學(xué)生說，教師寫出答案。)
師：你有發(fā)現(xiàn)嗎？
生：整數(shù)的倒數(shù)就是分母為整數(shù)本身，分子為1的分?jǐn)?shù)。
師：也就是說，整數(shù)的倒數(shù)是一個分?jǐn)?shù)單位。
師：原來的3、6、9越來越--？
生：越來越大！
師：那它的----？
生：它的倒數(shù)越來越小。
(4)教師出示：3/4×( )=2/5×( )=4/7×( )=1。
(學(xué)生說，教師寫答案。然后教師擦去1。)
師：現(xiàn)在擦去'1'后，你認為有幾種填法？
生：還可以讓它們的積等于2、3、……，所以有無數(shù)種填法。
師：但是根據(jù)倒數(shù)的意義來填是最容易考慮的，是吧？
(5)教師出示：填符號或數(shù)字。
①8÷2○8×1/2；②10÷5○10×1/5；
(學(xué)生說答案，教師寫。)
③20÷( )○20×( )；
生：20÷(5)=20×1/5。
生：20÷(2)=20×1/2。
……
5．總結(jié)延伸
出示卡片：7÷2/3○7×3/2。
師：你猜一下，7÷2/3○7×3/2能劃等號嗎？(生：能)那究竟為什么呢？我們下一節(jié)數(shù)學(xué)課再作研究，好嗎？(生：好)
師：今天我們認識了倒數(shù)，同學(xué)們有很多發(fā)現(xiàn)。剛才有同學(xué)記起了公約數(shù)只有1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，現(xiàn)在我們又知道乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，看來數(shù)學(xué)中有不少這樣的規(guī)律，希望以后大家創(chuàng)造更多的發(fā)現(xiàn)。謝謝大家，下課。
［反思：學(xué)習(xí)倒數(shù)，直接的作用是為學(xué)習(xí)下面分?jǐn)?shù)除法打基礎(chǔ)，所以在課尾作了這樣的孕伏。同時對于教學(xué)中像“公約數(shù)只有1的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)”“乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)”這樣的概念，是不是還有？自己心里也拿不準(zhǔn)，深感自身數(shù)學(xué)知識的不足。］
總評：建構(gòu)主義理論認為，學(xué)生是以原來的經(jīng)驗來解釋教材中的內(nèi)容，建立起一個新的概念，這就是建構(gòu)。建構(gòu)是一個逐步漸進的過程，是一個探索與實踐、糾偏再實踐的循環(huán)過程。張老師深知建構(gòu)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用，在這節(jié)課中作了具體生動的詮釋。確立以學(xué)生為主體的觀念，讓學(xué)生成為課堂的主角，成為發(fā)現(xiàn)知識的成功者，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究、剖析倒數(shù)的意義和相關(guān)方法，并讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律與奧秘，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的深層次的熱愛。
師生互動全面發(fā)展是本課的一大特色。整節(jié)課基本上是由教師與學(xué)生對話，圍繞文本互動的過程。教學(xué)的本質(zhì)是一種溝通與合作。教師創(chuàng)設(shè)了與學(xué)生圍繞“倒數(shù)”這個知識目標(biāo)進行民主、平等、和諧、生動的對話交流的動態(tài)情景，在對話交流中，包含了知識信息和情感態(tài)度、行為規(guī)范等多方面的有機組合，促進了學(xué)生多方面素養(yǎng)提高。
數(shù)學(xué)活動是讓學(xué)生經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)化的過程，也就是讓學(xué)生從自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗出發(fā)，經(jīng)過自己的思考，概括或發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，這是本課體現(xiàn)的第二大特色。特別是學(xué)生對倒數(shù)意義、方法的再創(chuàng)造的過程給聽課教師留下了深刻的印象。
著力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是本節(jié)課的第三大特色。數(shù)學(xué)課要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會獨立思考，善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)奧秘，又有效地調(diào)動全體學(xué)生敢于發(fā)現(xiàn)，善于發(fā)現(xiàn)，敢于發(fā)表自己想法，學(xué)會反思、調(diào)控、修正自己的觀點等優(yōu)良品質(zhì)。教師用板書學(xué)生姓名的特有方式既肯定了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，又達到表揚激勵及榜樣的作用，激起學(xué)生的思維一浪高過一浪，后浪推前浪的局面。
最后值得一提的是本課的板書。張老師進行了精心的設(shè)計：一是隨教學(xué)的進程逐步出示，二是抓住概念的重難點，三是同時板書激勵語，四是科學(xué)規(guī)范，給學(xué)生以啟發(fā)。
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