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數(shù)學教案－不等式的性質（二）
第二課時
教學目標
1．理解同向不等式，異向不等式概念；
2．掌握并會證明定理1，2，3；
3．理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；
4．初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程
教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法
教學方法：引導式
教學過程（www.gymyzhishaji.com）
一、復習回顧
上一節(jié)課,我們一起學習了比較兩實數(shù)大小的方法,主要根據的是實數(shù)運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：
這一節(jié)課，我們將利用比較實數(shù)的方法， 來推證不等式的性質.
二、講授新課
在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.
1．同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.
異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.
2．不等式的性質：
定理1：若 ，則
定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.
證明
由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，得
說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數(shù)運算的符號法則的應用.
定理2：若 ，且 ，則 .
證明：
根據兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得
∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).
定理3：若 ，則
定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.
證明
說明：（1）定理3的證明相當于比較 與 的大小，采用的是求差比較法；
（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .
定理3推論：若 .
證明:
說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；
�。�2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；
（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；
�。�4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）
三、課堂練習
1．證明定理1后半部分；
2．證明定理3的逆定理.
說明：本節(jié)主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.
課堂小結
通過本節(jié)學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
課后作業(yè)
1．求證：若
2．證明：若
板書設計
§6.1.2 不等式的性質
1．同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
異向不等式 證明 證明 推論
2．定理1 證明 說明 說明 證明
第三課時
教學目標
1．熟練掌握定理1，2，3的應用；
2．掌握并會證明定理4及其推論1，2；
3．掌握反證法證明定理5.
教學重點：定理4，5的證明.
教學難點：定理4的應用.
教學方法：引導式
教學過程（www.gymyzhishaji.com）：
一、復習回顧
上一節(jié)課，我們一起學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.
（學生回答）
好，我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.
二、講授新課
定理4：若
若
證明：
根據同號相乘得正，異號相乘得負，得
當
說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；
（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變.
推論1：若
證明：
①
又
∴ ②
由①、②可得 .
說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；
�。�2）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有 ，就推不出 的結論.
�。�3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.
推論2：若
說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；
�。�2）應強調學生注意n∈N 的條件.
定理5：若
我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.
說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .
由推論2和定理1，當 時，有 ；
當 時，顯然有
這些都同已知條件 矛盾
所以 .
接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.
例2 已知
證明：由
例3 已知
證明：∵
兩邊同乘以正數(shù)
說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.
三、課堂練習
課本P7練習1，2，3.
課堂小結
通過本節(jié)學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.
課后作業(yè)
課本習題6.1 4，5.
板書設計
§6.1.3 不等式的性質
定理4 推論1 定理5 例3 學生
內容 內容
證明 推論2 證明 例4 練習
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