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不等式的性質(zhì)二

時間：2022-08-17 03:47:34 高二數(shù)學教案我要投稿

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不等式的性質(zhì)（二）

第二課時

教學目標

　　1．理解同向不等式，異向不等式概念；
　　2．掌握并會證明定理1，2，3；
　　3．理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據(jù)，定理3是移項法則的依據(jù)；
　　4．初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程

教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法

教學方法：引導式

教學過程（www.gymyzhishaji.com）

一、復習回顧

　　上一節(jié)課,我們一起學習了比較兩實數(shù)大小的方法,主要根據(jù)的是實數(shù)運算的符號法則,而這也是推證不等式性質(zhì)的主要依據(jù),因此，我們來作一下回顧：

　　這一節(jié)課，我們將利用比較實數(shù)的方法，來推證不等式的性質(zhì).

二、講授新課

　　在證明不等式的性質(zhì)之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.

　　1．同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如：是同向不等式.

　　　異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如：是異向不等式.

　　2．不等式的性質(zhì)：

定理1：若，則

定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.

證明：∵，

∴

由正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，得

說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向?qū)W生強調(diào)實數(shù)運算的符號法則的應(yīng)用.

定理2：若，且，則.

證明：∵

∴

根據(jù)兩個正數(shù)的和仍是正數(shù)，得

∴說明：此定理證明的主要依據(jù)是實數(shù)運算的符號法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù).

定理3：若，則

定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數(shù)，所得不等式與原不等式同向.

證明：∵

∴

說明：（1）定理3的證明相當于比較與的大小，采用的是求差比較法；

（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據(jù)定理3可得出：若，則即.

定理3推論：若.

證明:∵,

∴ ①

∵

∴ ②

由①、②得

說明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運用定理3然后由定理2證出；

　　（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；

　　（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結(jié)論；

　　（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）

三、課堂練習

　　1．證明定理1后半部分；

　　2．證明定理3的逆定理.

說明：本節(jié)主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.

課堂小結(jié)

　　通過本節(jié)學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.

課后作業(yè)

　　1．求證：若

　　2．證明：若

板書設(shè)計

§6.1.2 不等式的性質(zhì)

　1．同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3

　　異向不等式　　證明證明推論

2．定理1 證明　說明說明證明

第三課時

教學目標

　　1．熟練掌握定理1，2，3的應(yīng)用；
　　2．掌握并會證明定理4及其推論1，2；
　　3．掌握反證法證明定理5.

教學重點：定理4，5的證明.

教學難點：定理4的應(yīng)用.

教學方法：引導式

教學過程（www.gymyzhishaji.com）：

一、復習回顧

　　上一節(jié)課，我們一起學習了不等式的三個性質(zhì)，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內(nèi)容.

（學生回答）

　　好，我們這一節(jié)課將繼續(xù)推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

二、講授新課

　　定理4：若

　　　若

　　證明：

　　根據(jù)同號相乘得正，異號相乘得負，得

　　當

說明：（1）證明過程中的關(guān)鍵步驟是根據(jù)“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；

　　�。�2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數(shù)，不等號方向不變；乘以同一個負數(shù)，不等號方向改變.

推論1：若

　　證明：

　　 ①

　　又

　　∴ ②

　　由①、②可得.

　　說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；

　　　　�。�2）所有的字母都表示正數(shù)，如果僅有，就推不出的結(jié)論.

　　　　�。�3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.

　　推論2：若

　　說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；

　　　　�。�2）應(yīng)強調(diào)學生注意n∈N的條件.

　　定理5：若

　　我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即，所以不能僅僅否定了，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.

　　說明：假定不大于，這有兩種情況：或者，或者.

　　由推論2和定理1，當時，有；

　　當時，顯然有

　　這些都同已知條件矛盾

　　所以.

　　接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

例2 已知

　　證明：由

例3 已知

　　證明：∵

　　兩邊同乘以正數(shù)

　　說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎(chǔ).在應(yīng)用定理4時，應(yīng)注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數(shù)時，其正負將影響結(jié)論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質(zhì)的應(yīng)用.

三、課堂練習

　　課本P₇練習1，2，3.

課堂小結(jié)

　　通過本節(jié)學習，大家要掌握不等式性質(zhì)的應(yīng)用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎(chǔ).

課后作業(yè)

　　課本習題6.1 4，5.

板書設(shè)計

§6.1.3 不等式的性質(zhì)

定理4 推論1 定理5 例3 學生

內(nèi)容內(nèi)容

證明推論2 證明例4 練習

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