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算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)（一）
教學目標
�。�1）掌握“兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；
�。�2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；
�。�3）能夠解決一些簡單的實際問題；
�。�4）通過對不等式的結構的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；
（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；
教學建議
1．教材分析
（1）知識結構
本節(jié)根據(jù)不等式的性質推導出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。
（2）重點、難點分析
本節(jié)課的重點內容是掌握“兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結論，教學難點是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值．為突破重難點，教師單方面強調是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法．
㈠定理教學的注意事項
在公式 以及算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：
（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。
例如 成立，而 不成立。
（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：
當 時取等號，其含義就是：
僅當 時取等號，其含義就是：
綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。
（二）關于用定理證明不等式
當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：
它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質或用比較法證明。
（三）應用定理求最值的條件
應用定理時注意以下幾個條件：
�。�1）兩個變量必須是正變量；
�。�2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；
（3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值．
即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值．
在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕茸冃�、分析變量、配置系�?shù)．
（四）應用定理解決實際問題的分析
在應用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；
�。�1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；
（2）建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；
�。�3）在定義域內，求出函數(shù)的最大值或最小值；
�。�4）正確寫出答案。
2．教法建議
（1）導入新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機．使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理．
�。�2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結構．對有關概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結構，使學生在比較中得到深刻理解．
�。�3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質．
�。�4）可以設計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結構中．
（5）注意培養(yǎng)應用意識．教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界．為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”．
第一課時
教學目標：
1．學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理；
2．理解定理的幾何意義；
3．能夠簡單應用定理證明不等式.
教學重點：均值定理證明
教學難點：等號成立條件
教學方法：引導式
教學過程（www.gymyzhishaji.com）：
一、復習回顧
上一節(jié)，我們完成了對不等式性質的學習，首先我們來作一下回顧.
（學生回答）
由上述性質，我們可以推導出下列重要的不等式.
二、講授新課
1． 重要不等式：
如果
證明：
當
所以，
即
由上面的結論，我們又可得到
2． 定理：如果 是正數(shù)，那么
證明：∵
即
顯然，當且僅當
說明：ⅰ）我們稱 的算術平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
�、ⅲ� 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù).
�、＃爱斍覂H當”的含義是充要條件.
3．均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.
以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么
即
這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合；即 時，等號成立.
在定理證明之后，我們來看一下它的具體應用.
4． 例題講解：
例1 已知 都是正數(shù)，求證：
（1）如果積 是定值P,那么當 時，和 有最小值
�。�2）如果和 是定值S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以
（1）積xy為定值P時，有
上式當 時，取“=”號，因此，當 時，和 有最小值 .
（2）和 為定值S時，有
上式當 時取“=”號，因此，當 時，積 有最大值 .
說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：
�。�1）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);
�。�2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；
（3）等號成立條件必須存在.
接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.
三、課堂練習
課本P11練習2，3
要求：學生板演，老師講評.
課堂小結：
通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式，但是在應用時，應注意定理的適用條件.
課后作業(yè)：習題6.2 1，2，3，4
板書設計：
§6.2.1 ……
1．重要不等式 說明�。� 4.例題…… 學生
…… ⅱ） …… 練習
ⅲ） ……
2．均值定理 3.幾何意義
……
……
第二課時
教學目標：
1．進一步掌握均值不等式定理；
2．會應用此定理求某些函數(shù)的最值；
3．能夠解決一些簡單的實際問題.
教學重點：均值不等式定理的應用
教學難點：
解題中的轉化技巧
教學方法：啟發(fā)式
教學過程（www.gymyzhishaji.com）：
一、復習回顧
上一節(jié)，我們一起學習了兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧一下定理內容及其適用條件.
（學生回答）
利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練.
二、講授新課
例2 已知都是正數(shù)，求證：
分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.
證明：由 都是正數(shù)，得
即
例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為3m，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化，即建立函數(shù)關系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得
當
因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.
評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件.
為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用，我們來進行課堂練習.
三、課堂練習
課本P11練習1，4
要 求：學生板演，老師講評.
課堂小結：
通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應用.
課后作業(yè)：
習題6.2 5,6,7
板書設計：
均值不等式 例2 §6.2.2 例3 學生
定理回顧 …… ……
…… …… …… 練習
…… …… ……
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