算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二）

第一課時

一、教材分析

    （一）教材所處的地位和作用

    “算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎上對不等式的進一步研究．本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)．

    （二）教學目標

　　1．知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題．

　　2．能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結合、化歸等數(shù)學思想．

　�。ㄈ�）教學重點、難點、關鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關的應用問題．

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理．

　　關鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關鍵．

　�。ㄋ模┙滩奶幚�

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學．第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋．掌握應用定理解決某些數(shù)學問題．第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題．為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題．

二、教法分析

　�。ǎ�）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標．在探索結論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結合法進行．

　�。ǘ�）教學手段

根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學．

三、教學過程（www.gymyzhishaji.com）設計

6．2算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　�。ㄒ唬�導入新課

　�。ń處熁顒樱�1．教師打出字幕（提出問題）；2．組織學生討論，并點評．

　�。▽W生活動）學生分組討論，解決問題．

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售．試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　�、僭O物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）．

　　故降價最少的方案是丙．

　�、谌魧�問題變?yōu)榈谝淮?i>a折銷售，第二次b折銷售．顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少．學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課．

 　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　�。ń處熁顒樱┐虺鲎帜唬ㄖ匾�不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明．點評有關問題．

　�。▽W生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關概念．

　�。圩帜唬萑绻� ，那么 （當且僅當 時取“=”號）．

　　證明：見課本

　�。埸c評］

　�、購娬{(diào) 的充要條件是

 　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）．

　�、蹘缀谓忉�，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）．

　　證明：學生運用“ ”自己證明．

    ［點評］

　�、購娬{(diào)；

　�、诮忉尅八阈g平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　�、軒缀谓忉專ㄒ娬n本）；

　�。乐赋龆ɡ砜赏茝V為“n個（ ）正數(shù)的算術平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”．

    設計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力．

　　【例題示范，學會應用】

　�。ń處熁顒樱┙處煷虺鲎帜唬ɡ�題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構建證題思路．

　�。▽W生活動）與教師一道完成問題的論證．

　�。圩帜唬堇�題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　�。鄯治觯�

　　 ①應用定理證明；

　　 ②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　 ③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì)．

　　證明：見課本．

設計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題．

    【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法．

　�。▽W生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演．

  　�。圩帜唬菥毩暎阂阎� 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　�。�2）

　　設計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學．

　　【分析歸納、小結解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結應用定理解決有關數(shù)學問題的解題方法．

　�。▽W生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上．

　　 1．重要不等式可以用來證明某些不等式．

　　2．應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結構特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式．

　　3．用重要不等式證明有關不等式時注意與不等式性質(zhì)結合．

　　設計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關數(shù)學問題的方

法．

　�。ㄈ�）小結

　�。ń處熁顒樱┙處熜〗Y本節(jié)課所學的知識要點．

　　（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上．

　　1．本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用．

　　 2．注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件．

　　設計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

 　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)；習題 ．1，3

　　2．思考題：已知 ，求證：

　　3．研究性題：設正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式．

　　設計意圖：課本作業(yè)供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識．

　�。ㄎ澹┱n后點評

　　1．導入新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機．使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理．
　　2．在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結構．對有關概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結構，使學生在比較中得到深刻理解．
　　3．通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學．
　　4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì)．

作業(yè)答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

．又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① ．由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）． 得 ，即 ． ② ．由（A）、（B）之和即得．③ ．可利用 ．再利用①，即可得． ④ ．利用立方和公式得到： ．利用①可得 ．利用①②可得 ．還有 ……

 

第二課時

　�。ǎ�）導入新課

　�。ń處熁顒樱�1．教師打出字幕（引例）； 2．設置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關實際問題．

　�。▽W生活動）思考、回答教師設置的問題，構建應用平均值定理解決實際問題的思路．

　�。圩帜唬菀�例．如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最��？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設問]

　�、龠@是一個實際問題，如何把它轉化成為一個數(shù)學問題？

    （學生口答：設籬笆墻長為y，則 （ ）．問

題轉化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值．）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　�。▽W生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理．）

　　設計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關實際問題，引入課題．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　�。ń處熁顒樱┙處煷虺鲎帜唬ㄕn本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系．

　�。▽W生活動）嘗試完成問題的論證，構建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法．

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　�。�1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）．

　�。埸c評］

　　 ①（l）的結論即 ，（2）的結論即

　�、谏鲜鼋Y論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法．

　�、蹜�用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立．

　　設計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法．

　　【例題示范，學會應用】

　�。ń處熁顒樱┐虺鲎帜唬ɡ�題），引導學生分析問題，研究問題的解法．

　�。▽W生活動）分析、思考，嘗試解答問題．

　　 [字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值．

　�。鄯治觯菀驗檫@個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解．但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值．

　　解： ，由 ，知 ， ，且 ．當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi)．

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　�。鄯治觯� 設水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關干 的函數(shù)．然后用定理求函數(shù)y的最小值．

　　解：設水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

（ ）

 

所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600．因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時．水池的總造價最低，最低總造價是297600元．

　　設計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構建思想．培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想．

　　【課堂練習】

　�。ń處熁顒樱┐虺鲎帜唬ň毩暎�，要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習．

　�。▽W生活動）在筆記本且完成練習、板演．

　�。圩帜弧尘毩�

    A組

    1．求函數(shù) （ ）的最大值．

    2求函數(shù) （ ）的最值．

    3．求函數(shù) （ ）的最大值．

    B組

    1．設 ，且 ，求 的最大值．

    2．求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 ．所以

[講評] A組 1． ； 2． ； 3．

B組 1． ； 2．不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值．

　　設計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值．B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意．同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學．

　　【分析歸納、小結解法】

　�。ń處熁顒樱┓治鰵w納例題和練習的解題過程，小結應用平均值定理解決有關函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法．

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記．

　　1．應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題．

　　2．應用定理時注意以下幾個條件：（�。﹥蓚�變量必須是正變量．（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值．（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值．

　　3．在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù)．

　　4．應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域．（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案．

　　設計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法．

　�。ㄈ�）小結

　�。ń處熁顒樱┙處熜〗Y本節(jié)課所學的知識要點．

　�。▽W生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題．現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法．這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握．

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉化問題，達到化歸的目的．

　　設計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)：P ，6，7．

　　2．思考題：設 ，求函數(shù) 的最值．

　　3．研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增．問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設計意圖：課本作業(yè)供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力．

　�。ㄎ澹┱n后點評

　　1．關于新課引入設計的想法：

　　導入這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題．事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點．

　　2．關于課堂練習設計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點．為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結構中．

　　3．培養(yǎng)應用意識．

　　 教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界．為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學．本節(jié)課中設計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”．

　　作業(yè)解答

　　思考題：

 ．當且僅當 ，即 時，上式取等號．所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值．

　　研究性題：設使用 年報廢最合算，由題意有；

年平均費用

當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元．

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