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不等式的解法舉例
教學目標
。1)能熟練運用不等式的基本性質(zhì)來解不等式;
。2)在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎上,掌握分式不等式、高次不等式的解法;
。3)能將較復雜的絕對值不等式轉化為簡單的絕對值不等式、一元二次不等式(組)來解;
(4)通過解不等式,要向學生滲透轉化、數(shù)形結合、換元、分類討論等數(shù)學思想;
。5)通過解各種類型的不等式,培養(yǎng)學生的觀察、比較及概括能力,培養(yǎng)學生的勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神,培養(yǎng)學生的學習興趣.
教學建議
一、知識結構
本節(jié)內(nèi)容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,簡單的絕對值不等式及分式不等式的解法基礎上,進一步深入研究較為復雜的絕對值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運用不等式的性質(zhì)和有關定理、法則,將這些不等式等價轉化為一次不等式(組)或二次不等式的求解,具體地說就是含有絕對值符號的不等式去掉絕對值符號,無理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式為:
;
;
;
二、重點、難點分析
本節(jié)的重點和一個難點是不等式的等價轉化.解不等式與解方程有類似之處,但其二者的區(qū)別更要加以重視.解方程所產(chǎn)生的增根是可以通過檢驗加以排除的,由于不等式的解集一般都是無限集,如果產(chǎn)生了增根卻是無法檢驗加以排除的,所以解不等式的過程一定要保證同解,所涉及的變換一定是等價變換.在學生學習過程中另一個難點是不等式 的求解.這個不等式其實是一個不等式組的簡化形式,當 為一元一次式時,可直接解這個不等式組,但當 為一元二次式時,就必須將其改寫成兩個一元二次不等式的形式,分別求解在求交集.
三、教學建議
(1)在學習新課之前一定要復習舊知識,包括一元二次不等式的解法,簡單的絕對值不等式的解法,簡單的分式不等式的解法,不等式的性質(zhì),實數(shù)運算的符號法則等.特別是對于基礎比較差的學生,這一環(huán)節(jié)不可忽視.
(2)在研究不等式 的解法之前,應先復習解不等式組的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,啟發(fā)學生運用換元思想將 替換成 ,從而轉化一元二次不等式組的求解.
(3)在教學中一定讓學生充分討論,明確不等式組“ ”中的兩個不等式的解集間的交并關系,“ ” 兩個不等式的解集間的交并關系.
(4)建議表述解不等式的過程中運用符號“ ”.
(5)建議在研究分式不等式的解法之前,先研究簡單高次不等式(一端為0,另一端是若干個一次因式乘積形式的整式)的解法.可由學生討論不同解法,師生共同比較諸法的優(yōu)劣,最后落實到區(qū)間法.
(6)分式不等式 與高次不等式 的等價原因, 可以認為是不等式 兩端同乘以正數(shù) ,不等號不改變方向所得;也可以認為是 與 符號相同所得.
(7)分式不等式求解時不能盲目地去分母,但當分母恒為正數(shù)(如分母是 )時,應將其去掉,從而使不等式化簡.
(8)建議補充簡單的無理不等式 的解法,其中 為一次式.教學中先由學生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教師概括總結,得出結論后一定要強調(diào)不等號的方向對 的影響,即 保證了 ,而 卻不能保證這一點,所以要分 和 兩種情況進行討論.
(9)求解不等式不僅要重視思路的理解,更要重視表述的規(guī)范,作為教師應給學生做出示范,學生通過模仿掌握書寫格式,這樣才有可能保證運算的合理性與結果的準確性.
教學設計示例
分式不等式的解法
教學目標
1.掌握分式不等式向整式不等式的轉化;
2.進一步熟悉并掌握數(shù)軸標根法;
3.掌握分式不等式基本解法.
教學重點難點
重點是分式不等式解法
難點是分式不等式向整式不等式的轉化
教學方法
啟發(fā)式和引導式
教具準備
三角板、幻燈片
教學過程(www.gymyzhishaji.com)
1.復習回顧:
前面,我們學習了含有絕對值的不等式的基本解法,還了解了數(shù)軸標根法的解題思路,本節(jié)課,我們將繼續(xù)研究分式不等式的解法.
2.講授新課:
例3 解不等式 <0.
分析:這是一個分式不等式,其左邊是兩個關于x的二次三項式的商,根據(jù)商的符號法則,它可以化成兩個不等式組:
因此,原不等式的解集就是上面兩個不等式組的解集的并集,此種解法從課本可以看到.
另解:根據(jù)積的符號法則,可以將原不等式等價變形為(x2-3x+2)(x2-2x-3)<0
即(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0
令(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0
可得零點x=-1或1,或2或3,將數(shù)軸分成五部分(如圖).
由數(shù)軸標根法可得所求不等式解集為:
{x|-1<x<1或2<x<3}
說明:(1)讓學生注意數(shù)軸標根法適用條件;
。2)讓學生思考 ≤0的等價變形.
例4 解不等式 >1
分析:首先轉化成右端為0的分式不等式,然后再等價變形為整式不等式求解.
解:原不等式等價變形為:
-1>0
通分整理得: >0
等價變形為:(x2-2x+3)(x2-3x+2)>0
即:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0
由數(shù)軸標根法可得所求不等式解集為:
{x|x<-1或1<x<2或x>3}
說明:此題要求學生掌握較為一般的分式不等式的轉化與求解.
3.課堂練習:
課本P19練習1.
補充:(1) ≥0;
。2)x(x-3)(x+1)(x-2)≤0.
課堂小結
通過本節(jié)學習,要求大家在進一步掌握數(shù)軸標根法的基礎上,掌握分式不等式的基本解法,即轉化為整式不等式求解.
課后作業(yè)
習題6.4 3,4.
板書設計
●教學后記
探究活動
試一試用所學知識解下列不等式:
(1) ;
。2) ;
。3) .
答案: (1)原式
觀察這個不等式組,由于要求 ,同時要求 ,所以①式可以不解.
∴ 原式
如下圖
∴
(2)分析 當 時,不等式兩邊平方,當 時,在 有意義的前提下恒成立.
原式 (Ⅰ)
或(Ⅱ)
由于同時滿足(2)、(3)式,所以(1)式免解.
∴ (Ⅰ)式
。á颍┦ .
綜合(Ⅰ)、(Ⅱ),得 .
。3)分析 當 時,不等式兩邊平方,當 時,原式解集為 .
原式
觀察不等式組,設有可以免解的不等式.
原式
如下圖
∴
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