簡單的線性規(guī)劃（一）

教學目標
　�。�1）使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；
　�。�2）了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；
　�。�3）了解線性規(guī)化問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題；
　�。�4）培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生“建�！焙徒鉀Q實際問題的能力；
　�。�5）結(jié)合教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識，激勵學生勇于創(chuàng)新．

 

教學建議

一、知識結(jié)構(gòu)
　　教科書首先通過一個具體問題，介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域．再通過一個具體實例，介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個基本概念及一種基本解法－圖解法，并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實際中的應(yīng)用．
二、重點、難點分析
　　本小節(jié)的重點是二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域．
　　對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域是一個比較陌生、抽象的概念，按高二學生現(xiàn)有的知識和認知水平難以透徹理解，因此學習二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域分為兩個大的層次：
　�。�1）二元一次不等式表示平面區(qū)域．首先通過建立新舊知識的聯(lián)系，自然地給出概念．明確二元一次不等式在平面直角坐標系中表示直線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域不包含邊界直線（畫成虛線）．其次再擴大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實線．
　�。�2）二元一次不等式組表示平面區(qū)域．在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上，畫不等式組所表示的平面區(qū)域，找出各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．這是學生對代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學建模方法解決實際問題的基礎(chǔ)．
　　難點是把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答．
　　對許多學生來說，從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少，學生解數(shù)學應(yīng)用題的最常見困難是不會將實際問題提煉成數(shù)學問題，即不會建模．所以把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點，并緊緊圍繞如何引導學生根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，然后利用圖解法求出最優(yōu)解作為突破這個難點的關(guān)鍵．
　　對學生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學模型；③孤立地考慮單個的問題情景，不能多方聯(lián)想，形成正遷移．針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本課設(shè)計為計算機輔助教學，從而將實際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學生面前，以利于理解；分析完題后，能夠抓住問題的本質(zhì)特征，從而將實際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題．另外，利用計算機可以較快地幫助學生掌握尋找整點最優(yōu)解的方法．
三、教法建議
　�。�1）對學生來說，二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域是一個比較陌生的概念，不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知，為使學生對這一概念的引進不感到突然，應(yīng)建立新舊知識的聯(lián)系，以便自然地給出概念
　�。�2）建議將本節(jié)新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出結(jié)論．
　　（3）要舉幾個典型例題，特別是似是而非的例子，對理解二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的．
　�。�4）建議通過本節(jié)教學著重培養(yǎng)學生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)”，這對培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學能力是大有益處的．
　　（5）對作業(yè)、思考題、研究性題的建議：①作業(yè)主要訓練學生規(guī)范的解題步驟和作圖能力；②思考題主要供學有余力的學生課后完成；③研究性題綜合性較大，主要用于拓寬學生的思維．
　　（6）若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解（近似解），應(yīng)作適當?shù)恼{(diào)整，其方法應(yīng)以與線性目標函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．
　　如果可行域中的整點數(shù)目很少，采用逐個試驗法也可．
　�。�7）在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最�。�

 

線性規(guī)劃教學設(shè)計方案（一）

教學目標

　　使學生了解并會作二元一次不等式和不等式組表示的區(qū)域．

重點難點

　　了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．

教學過程（www.gymyzhishaji.com）

【引入新課】

　　我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點集，那么在平面坐標系中，二元一次不等式的解集的意義是什么呢？

【二元一次不等式表示的平面區(qū)域】

　　1．先分析一個具體的例子

　　我們知道，在平面直角坐標系中，以二元一次方程 的解為坐標的點的集合 是經(jīng)過點（0，1）和（1，0）的一條直線l（如圖）那么，以二元一次不等式（即含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式） 的解為坐標的點的集合 是什么圖形呢？

　　在平面直角坐標系中，所有點被直線l分三類：①在l上；②在l的右上方的平面區(qū)域；③在l的左下方的平面區(qū)域（如圖）取集合A的點（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我們發(fā)現(xiàn)這些點都在l的右上方的平面區(qū)域，而點（0，0）、（－1，－1）等等不屬于A，它們滿足不等式 ，這些點卻在l的左下方的平面區(qū)域．

　　由此我們猜想，對直線l右上方的任意點 成立；對直線l左下方的任意點 成立，下面我們證明這個事實．

　　在直線 上任取一點 ，過點P作垂直于y軸的直線 ，在此直線上點P右側(cè)的任意一點 ，都有     ∴ 

　　于是 

　　所以 

　　因為點 ，是L上的任意點，所以，對于直線 右上方的任意點 ，

都成立

　　同理，對于直線 左下方的任意點 ，

都成立

　　所以，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集點．

是直線 右上方的平面區(qū)域（如圖）

　　類似地，在平面直角坐標系中，以二元一次不等式 的解為坐標的點的集合 是直線 左下方的平面區(qū)域．

　　2．二元一次不等式 和 表示平面域．

　　（1）結(jié)論：二元一次不等式 在平面直角坐標系中表示直線 某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域．

　　把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，若畫不等式 就表示的面區(qū)域時，此區(qū)域包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線．

　　（2）判斷方法：由于對在直線 同一側(cè)的所有點 ，把它的坐標 代入 ，所得的實數(shù)的符號都相同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個特殊點 ，以 的正負情況便可判斷 表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當 時，常把原點作為此特殊點．

　　【應(yīng)用舉例】

　　例1  畫出不等式 表示的平面區(qū)域

　　解；先畫直線 （畫線虛線）取原點（0，0），代入 ，

∴    ∴  原點在不等式 表示的平面區(qū)域內(nèi)，不等式 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分．

　　例2  畫出不等式組



　　表示的平面區(qū)域

　　分析：在不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．

　　解：不等式 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域， 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域， 上及左上方的平面區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分．

課堂練習

作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域．

（1）   （2）   （3）  

（4）   （5）

總結(jié)提煉

1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域．

2．二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法．

3．二元一次不等式組表示的平面區(qū)域．

布置作業(yè)

1．不等式 表示的區(qū)域在 的（  ）．

　　A．右上方  B．右下方  C．左上方  D．左下方

2．不等式 表示的平面區(qū)域是（  ）．

3．不等式組 表示的平面區(qū)域是（   ）．

4．直線 右上方的平面區(qū)域可用不等式     表示．

5．不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標是        ．

6．畫出 表示的區(qū)域．

答案：

1．B  2．D  3．B  4．   5．（－1，－1）

6．

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