圓的方程

教學(xué)目標(biāo)

　　（1）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地寫出圓的圓心坐標(biāo)和半徑．
　�。�2）掌握圓的一般方程，了解圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程之間的互化．
　�。�3）了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程，能夠進(jìn)行圓的普通方程與參數(shù)方程之間的互化，能應(yīng)用圓的參數(shù)方程解決有關(guān)的簡單問題．
　�。�4）掌握直線和圓的位置關(guān)系，會求圓的切線．
　�。�5）進(jìn)一步理解曲線方程的概念、熟悉求曲線方程的方法．

 

教學(xué)建議

教材分析
（1）知識結(jié)構(gòu)

（2）重點、難點分析
　　①本節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程的推導(dǎo)，根據(jù)條件求圓的方程，用圓的方程解決相關(guān)問題．
　　②本節(jié)的難點是圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特征，以及圓方程的求解和應(yīng)用．

教法建議
　�。�1）圓是最簡單的曲線．這節(jié)教材安排在學(xué)習(xí)了曲線方程概念和求曲線方程之后，學(xué)習(xí)三大圓錐曲線之前，旨在熟悉曲線和方程的理論，為后繼學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備．同時，有關(guān)圓的問題，特別是直線與圓的位置關(guān)系問題，也是解析幾何中的基本問題，這些問題的解決為圓錐曲線問題的解決提供了基本的思想方法．因此教學(xué)中應(yīng)加強練習(xí)，使學(xué)生確實掌握這一單元的知識和方法．
　�。�2）在解決有關(guān)圓的問題的過程中多次用到配方法、待定系數(shù)法等思想方法，教學(xué)中應(yīng)多總結(jié)．
　�。�3）解決有關(guān)圓的問題，要經(jīng)常用到一元二次方程的理論、平面幾何知識和前邊學(xué)過的解析幾何的基本知識，教師在教學(xué)中要注意多復(fù)習(xí)、多運用，培養(yǎng)學(xué)生運算能力和簡化運算過程的意識．
　�。�4）有關(guān)圓的內(nèi)容非常豐富，有很多有價值的問題．建議適當(dāng)選擇一些內(nèi)容供學(xué)生研究．例如由過圓上一點的切線方程引申到切點弦方程就是一個很有價值的問題．類似的還有圓系方程等問題．

 

教學(xué)設(shè)計示例

圓的一般方程

教學(xué)目標(biāo)：

　　（1）掌握圓的一般方程及其特點．

　�。�2）能將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑．

　�。�3）能用待定系數(shù)法，由已知條件求出圓的一般方程．

　�。�4）通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，進(jìn)一步掌握配方法和待定系數(shù)法．

教學(xué)重點：（1）用配方法，把圓的一般方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑．

　　　　�。�2）用待定系數(shù)法求圓的方程．

教學(xué)難點：圓的一般方程特點的研究．

教學(xué)用具：計算機．

教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法．

教學(xué)過程（www.gymyzhishaji.com）：

【引入】

前邊已經(jīng)學(xué)過了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

把它展開得

任何圓的方程都可以通過展開化成形如

　　　　　　　　�、�

的方程

【問題1】

形如①的方程的曲線是否都是圓？

師生共同討論分析：

　　如果①表示圓，那么它一定是某個圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開整理得到的．我們把它再寫成原來的形式不就可以看出來了嗎？運用配方法，得

　　　　　　�、�

顯然②是不是圓方程與 是什么樣的數(shù)密切相關(guān)，具體如下：

　�。�1）當(dāng) 時，②表示以 為圓心、以 為半徑的圓；

　�。�2）當(dāng) 時，②表示一個點 ；

　�。�3）當(dāng) 時，②不表示任何曲線．

　　總結(jié)：任意形如①的方程可能表示一個圓，也可能表示一個點，還有可能什么也不表示．

圓的一般方程的定義：

　　當(dāng) 時，①表示以 為圓心、以 為半徑的圓，

　　此時①稱作圓的一般方程．

　　即稱形如 的方程為圓的一般方程．

【問題2】圓的一般方程的特點，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同．

　�。�1） 和 的系數(shù)相同，都不為0．

　　（2）沒有形如 的二次項．

圓的一般方程與一般的二元二次方程

　　　　　　　　③

相比較，上述（1）、（2）兩個條件僅是③表示圓的必要條件，而不是充分條件或充要條件．

圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋：

　�。�1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然．

　�。�2）圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運用．

【實例分析】

例1：下列方程各表示什么圖形．

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ．

學(xué)生演算并回答

　�。�1）表示點（0，0）；

　�。�2）配方得 ，表示以 為圓心，3為半徑的圓；

　　（3）配方得 ，當(dāng) 、 同時為0時，表示原點（0，0）；當(dāng) 、 不同時為0時，表示以 為圓心， 為半徑的圓．

　　例2：求過三點 ， ， 的圓的方程，并求出圓心坐標(biāo)和半徑．

　　分析：由于學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程，那么本題既可以用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，也可以用一般方程求解．

　　解：設(shè)圓的方程為

因為 、 、 三點在圓上，則有

解得： ， ，

所求圓的方程為

可化為

圓心為 ，半徑為5．

請同學(xué)們再用標(biāo)準(zhǔn)方程求解，比較兩種解法的區(qū)別．

【概括總結(jié)】通過學(xué)生討論，師生共同總結(jié)：

　�。�1）求圓的方程多用待定系數(shù)法．其步驟為：由題意設(shè)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程）；根據(jù)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組；解方程組求出系數(shù)，寫出方程．

　�。�2）如何選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程．一般地，易求圓心和半徑時，選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果給出圓上已知點，可選用一般方程．

下面再看一個問題：

　　例3： 經(jīng)過點 作圓 的割線，交圓 于 、 兩點，求線段 的中點 的軌跡．

　　解：圓 的方程可化為 ，其圓心為 ，半徑為2．設(shè) 是軌跡上任意一點．

　　∵ 

　　∴ 

即

化簡得

點 在曲線上，并且曲線為圓 內(nèi)部的一段圓�。�

【練習(xí)鞏固】

　　（1）方程 表示的曲線是以 為圓心，4為半徑的圓．求 、 、 的值．（結(jié)果為4，－6，－3）

　　（2）求經(jīng)過三點 、 、 的圓的方程．

　　分析：用圓的一般方程，代入點的坐標(biāo)，解方程組得圓的方程為 ．

　�。�3）課本第79頁練習(xí)1，2．

【小結(jié)】師生共同總結(jié)：

（1）圓的一般方程及其特點．

（2）用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)和半徑．

（3）用待定系數(shù)法求圓的方程．

【作業(yè)】課本第82頁5，6，7，8．

【板書設(shè)計】

圓的一般方程

圓的一般方程

例1：

例2：

例3：

練習(xí)：

小結(jié)：

作業(yè)：

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