等差數(shù)列
教學目標
1.理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項公式,并能運用通項公式解決簡單的問題.
。1)了解公差的概念,明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件,能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列,了解等差中項的概念;
(2)正確認識使用等差數(shù)列的各種表示法,能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項;
。3)能通過通項公式與圖像認識等差數(shù)列的性質,能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.
2.通過等差數(shù)列的圖像的應用,進一步滲透數(shù)形結合思想、函數(shù)思想;通過等差數(shù)列通項公式的運用,滲透方程思想.
3.通過等差數(shù)列概念的歸納概括,培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力,積極思維,追求新知的創(chuàng)新意識;通過對等差數(shù)列的研究,使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內在聯(lián)系,從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.
關于等差數(shù)列的教學建議
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
、教學重點是等差數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應用,等差數(shù)列是特殊的數(shù)列,定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括,準確把握定義是正確認識等差數(shù)列,解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關系,是研究一個數(shù)列的重要工具,等差數(shù)列的通項公式的結構與一次函數(shù)的解析式密切相關,通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質成為可能.
、谕ㄟ^不完全歸納法得出等差數(shù)列的通項公式,所以是教學中的一個難點;另外, 出現(xiàn)在一個等式中,運用方程的思想,已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多,學生應用時會有一定的困難,通項公式的靈活運用是教學的有一難點.
(3)教法建議
、俦竟(jié)內容分為兩課時,一節(jié)為等差數(shù)列的定義與表示法,一節(jié)為等差數(shù)列通項公式的應用.
、诘炔顢(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列,讓學生觀察、比較,概括共同規(guī)律,再由學生嘗試說出等差數(shù)列的定義,對程度差的學生可以提示定義的結構:“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”,由學生把限定條件一一列舉出來,為等比數(shù)列的定義作準備.如果學生給出的定義不準確,可讓學生研究討論,用符合學生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例,再由學生修改其定義,逐步完善定義.
、鄣炔顢(shù)列的定義歸納出來后,由學生舉一些等差數(shù)列的例子,以此讓學生思考確定一個等差數(shù)列的條件.
、苡蓪W生根據(jù)一般數(shù)列的表示法嘗試表示等差數(shù)列,前提條件是已知數(shù)列的首項與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點,根據(jù)圖像觀察項隨項數(shù)的變化規(guī)律;再看通項公式,項 可看作項數(shù) 的一次型( )函數(shù),這與其圖像的形狀相對應.
、萦懈F等差數(shù)列的末項與通項是有區(qū)別的,數(shù)列的通項公式 是數(shù)列第 項 與項數(shù) 之間的函數(shù)關系式,有窮等差數(shù)列的項數(shù)未必是 ,即其末項未必是該數(shù)列的第 項,在教學中一定要強調這一點.
、薜炔顢(shù)列前 項和的公式推導離不開等差數(shù)列的性質,所以在本節(jié)課應補充一些重要的性質;另外可讓學生研究等差數(shù)列的子數(shù)列,有規(guī)律的子數(shù)列會引起學生的興趣.
、叩炔顢(shù)列是現(xiàn)實生活中廣泛存在的數(shù)列的數(shù)學模型,如教材中的例題、習題等,還可讓學生去搜集,然后彼此交流,提出相關問題,自己嘗試解決,為學生提供相互學習的機會,創(chuàng)設相互研討的課堂環(huán)境.
等差數(shù)列通項公式的教學設計示例
教學目標
1.通過教與學的互動,使學生加深對等差數(shù)列通項公式的認識,能參與編擬一些簡單的問題,并解決這些問題;
2.利用通項公式求等差數(shù)列的項、項數(shù)、公差、首項,使學生進一步體會方程思想;
3.通過參與編題解題,激發(fā)學生學習的興趣.
教學重點,難點
教學重點是通項公式的認識;教學難點是對公式的靈活運用.
教學用具
實物投影儀,多媒體軟件,電腦.
教學方法
研探式.
教學過程
一.復習提問
前一節(jié)課我們學習了等差數(shù)列的概念、表示法,請同學們回憶等差數(shù)列的定義,其表示法都有哪些?
等差數(shù)列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的,這個關系用遞推公式來表示比較簡單,但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.
二.主體設計
通項公式 反映了項 與項數(shù) 之間的函數(shù)關系,當?shù)炔顢?shù)列的首項與公差確定后,數(shù)列的每一項便確定了,可以求指定的項(即已知 求 ).找學生試舉一例如:“已知等差數(shù)列 中,首項 ,公差 ,求 .”這是通項公式的簡單應用,由學生解答后,要求每個學生出一些運用等差數(shù)列通項公式的題目,包括正用、反用與變用,簡單、復雜,定量、定性的均可,教師巡視將好題搜集起來,分類投影在屏幕上.
1.方程思想的運用
。1)已知等差數(shù)列 中,首項 ,公差 ,則-397是該數(shù)列的第______項.
。2)已知等差數(shù)列 中,首項 , 則公差
(3)已知等差數(shù)列 中,公差 , 則首項
這一類問題先由學生解決,之后教師點評,四個量 , 在一個等式中,運用方程的思想方法,已知其中三個量的值,可以求得第四個量.
2.基本量方法的使用
。1)已知等差數(shù)列 中, ,求 的值.
。2)已知等差數(shù)列 中, , 求 .
若學生的題目只有這兩種類型,教師可以小結(最好請出題者、解題者概括):因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組,所以這些等差數(shù)列是確定的,由 和 寫出通項公式,便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件(等式)化為關于 和 的二元方程組,以求得 和 , 和 稱作基本量.
教師提出新的問題,已知等差數(shù)列的一個條件(等式),能否確定一個等差數(shù)列?學生回答后,教師再啟發(fā),由這一個條件可得到關于 和 的二元方程,這是一個 和 的制約關系,從這個關系可以得到什么結論?舉例說明(例題可由學生或教師給出,視具體情況而定).
如:已知等差數(shù)列 中, …
由條件可得 即 ,可知 ,這是比較顯然的,與之相關的還能有什么結論?若學生答不出可提示,一定得某一項的值么?能否與兩項有關?多項有關?由學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,完善問題
(3)已知等差數(shù)列 中, 求 ; ; ; ;….
類似的還有
。4)已知等差數(shù)列 中, 求 的值.
以上屬于對數(shù)列的項進行定量的研究,有無定性的判斷?引出
3.研究等差數(shù)列的單調性
,考察 隨項數(shù) 的變化規(guī)律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數(shù),其單調性取決于 的符號,由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.
4.研究項的符號
這是為研究等差數(shù)列前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如
。1)已知數(shù)列 的通項公式為 ,問數(shù)列從第幾項開始小于0?
(2)等差數(shù)列 從第________項起以后每項均為負數(shù).
三.小結
1. 用方程思想認識等差數(shù)列通項公式;
2. 用函數(shù)思想解決等差數(shù)列問題.
四.板書設計
等差數(shù)列通項公式 1. 方程思想的運用
2. 基本量方法的使用
3. 研究等差數(shù)列的單調性
4. 研究項的符號
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