下學(xué)期 5.4 平面向量的坐標(biāo)運算1

（第一課時）

一．教學(xué)目標(biāo)

　　1．理解平面向量的坐標(biāo)的概念，會寫出給定向量的坐標(biāo)，會作出已知坐標(biāo)表示的向量；

　　2．掌握平面向量的坐標(biāo)運算，能準(zhǔn)確表述向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運算法則，并能進行相關(guān)運算，進一步培養(yǎng)學(xué)生的運算能力；

　　3．通過學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)表示，使學(xué)生進一步了解數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維能力.

二．教學(xué)重點  理解平面向量的坐標(biāo)表示，平面向量的坐標(biāo)運算．

　　教學(xué)難點  對平面向量坐標(biāo)表示的理解．

三．教學(xué)具準(zhǔn)備

　　直尺、投影儀

四．教學(xué)過程

　　1．設(shè)置情境

　　師：平面內(nèi)有點 ，點 ，能否用坐標(biāo)來表示向量 呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平面向量的坐標(biāo)運算．

　�。ò鍟�課題）平面向量的坐標(biāo)運算

　　2．探索研究

　　（1）師：平面向量的基本定理的內(nèi)容是什么？什么叫平面向量的基底？

　　生：如果 、 是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù) 、 ，使

　　我們把不共線的向全 、 叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，這就是平面向全的基本定理．

　　師：如果在直角坐標(biāo)系下，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x，y使得

　　我們就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作；

 

　　這就叫做向量的坐標(biāo)表示

　　顯然i＝（1，0）  j＝（0，1）  0＝（0，0）

　　  如圖（1）所示，以原點O為起點與向量a相等的向量 ，則A點的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo)，反之設(shè) ，則點A的坐標(biāo)（x，y）也就是向量 的坐標(biāo)．

問題： 1°已知 (x₁, y₁)   (x₂, y₂)   求 + ， - 的坐標(biāo)

　　　2°已知 (x, y)和實數(shù)λ,   求λ 的坐標(biāo)

　　解： + =(x₁ +y₁ )+( x₂ +y₂ )=(x₁+ x₂) + (y₁+y₂)

　　即： + =(x₁+ x₂,  y₁+y₂)

　　同理： - =(x₁- x₂,  y₁-y₂)

　　結(jié)論：兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。

同理可得：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)。

　　用減法法則：   

　　∵ = - =( x₂, y₂) - (x₁,  y₁)

　　　　　= (x₂- x₁, y₂- y₁)

　　實數(shù)與向量積的坐標(biāo)運算：已知 =(x, y)   實數(shù)λ

　　則λ =λ(x +y )=λx +λy

　　∴λ =(λx, λy)

　　結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個實數(shù)乘原來的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。

　　師：如果兩個向量相等，那么這兩個向量的坐標(biāo)需滿足什么條件呢？是充要條件嗎？

　　生：a=b ．

　�。�2）例題分析

　　【例1】  如圖所示，用基底i、j分別表示向量a、b、c、d并求出它們的坐標(biāo)。

　　解：

　　　　

　　師：平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量的運算可以用坐標(biāo)來運算嗎？如何計算？

　　（1）已知 ，求 、 。

　　（2）已知 和實數(shù) ，求 的坐標(biāo)（由學(xué)生完成）。

　　解：（1）

　　∴

　　　

　�。�2）

　　∴

　　師：通過以上計算，你能得出向量運算的加法法則、減法法則和實數(shù)與向量的乘積的運算法則嗎？

　　生：兩個向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)的坐標(biāo)的和與差，實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于這個實數(shù)乘以原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。

　　【例2】  已知 ，求 ， ， 的坐標(biāo)。

　　解：

　　　　

　　【例3】  已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點D的坐標(biāo)。

　　解：設(shè)頂點D的坐標(biāo)為

　　

　　由   得

　　由

　　∴頂點D的坐標(biāo)為（2，2）

　　3．演練反饋。（投影儀）

　�。�1）已知三個力 的合力 ，求 的坐標(biāo)。

　　（2）已知向量 ，則 等于（   ）

　　A． 　　B．

　　C． 　D．

　　（3）已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求

　�、�t為何值時，點P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？

　　②四邊形OABP能成為平行四邊形嗎？若能，求出相應(yīng)的t值，若不能，請說明理由。

參考答案：

　　（1）

　　

　　∴

　�。�2）B．

　　（3）① ，若P在x軸上，只需 ；若P在y軸上，只需 ∴ ；若P在第二象限，則需 解得 。

　�、�

　　若OABP為平行四邊形，需

　　于是 無解。故四邊形OABP不能成為平行四邊形。

　　4．總結(jié)提煉

　　（1）引進向量的坐標(biāo)后，向量的基本運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)的基本運算，可以解方程，可以解不等式，總之問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的領(lǐng)域之中。

　　（2）要把點坐標(biāo) 與向量坐標(biāo)區(qū)分開來，兩者不是一個概念。

五．板書設(shè)計

1．平面向量的坐標(biāo)定義。

    （1）

（2）i、j的含義

（3） 是a的坐標(biāo)

2．平面向量坐標(biāo)運算

例1

例2

演練反饋

總結(jié)提煉

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