下學(xué)期 5.3實數(shù)與向量的積1

（第一課時）

一．教學(xué)目標(biāo)

　　1．理解并掌握實數(shù)與向量的積的意義．

　　2．理解兩個向量共線的充要條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否共線；

　　3．通過對實數(shù)與向量的積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想.

二．教學(xué)重點：實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件；

　　教學(xué)難點：理解實數(shù)與向量的積的定義，向量共線的充要條件；

三．教學(xué)具準(zhǔn)備

　　直尺、投影儀．

四．教學(xué)過程

　　1．設(shè)置情境

　　我們知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質(zhì)量等都是數(shù)量，這些向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)，如力與加速度的關(guān)系f=ma，位移與速度的關(guān)系s=vt．這些公式都是實數(shù)與向量間的關(guān)系．

　　師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請同學(xué)們作出 和 向量，（已知向量已作在投影片上），并請同學(xué)們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？

　　生： 的長度是 的長度的3倍，其方向與 的方向相同， 的長度是 長度的3倍，其方向與 的方向相反．

　　師：很好！本節(jié)課我們就來討論實數(shù)與向量的乘積問題，（板書課題：實數(shù)與向量的乘積（一））

　　2．探索研究

　　師：請大家根據(jù)上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數(shù)與向量的積？可結(jié)合教材思考．

　　生：我想這樣規(guī)定：實數(shù) 與向量 的積就是 ，它還是一個向量．

　　師：想法很好．不過我們要對實數(shù) 與向量 相乘的含義作一番解釋才行．

　　實數(shù) 與向量 的積是一個向量，記作 ，它的長度和方向規(guī)定如下：

　�。�1）

　　（2） 時， 的方向與 的方向相同；當(dāng) 時， 的方向與 的方向相反；特別地，當(dāng) 或 時，

　　下面我們討論作為數(shù)乘向量的基本運算律：

　　師：求作向量 和 （ 為非零向量）并進行比較，向量 與向量 相等嗎？（引導(dǎo)學(xué)生從模的大小與方向兩個方面進行比較）

　　生： ，

　　師：設(shè) 、 為任意向量， ， 為任意實數(shù)，則有：

　�。�1） 　�。�2） �。�3）

　　通常將（1）稱為結(jié)合律，（2）（3）稱為分配律，有時為了區(qū)別，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律．

　　請看例題

　　【例1】計算：（1） ， （2） ．

　　（3）

　　解：（1）原式

　�。�2）原式

　�。�3）原式 ．

　　下面我們研究共線向量與實乘向量的關(guān)系．

　　師：請同學(xué)們觀察 ， ，有什么關(guān)系．

　　生：因為 ，所以 、 是共線向量．

　　師：若 、 是共線向量，能否得出 ？為什么，可得出 嗎？為什么？

　　生：可以！因為 、 共線，它們的方向相同或相反．

　　師：由此可得向量共線的充要條件．向量 與非零向量 共線的充分必要條件是有且僅有一個實數(shù) ，使得

　　此即教材中的定理．

　　對此定理的證明，是兩層來說明的．

　　其一，若存在實數(shù) ，使 ，則由實數(shù)與向量乘積定義中的第（2）條知 與 共線，即 與 共線．

　　其二，若 與 共線，且不妨令 ，設(shè) （這是實數(shù)概念）．接下來看 、 方向如何：① 、 同向，則 ，②若 、 反向，則記 ，總而言之，存在實數(shù) （ 或 ）使 ．

　　【例2】如圖：已知 ， ，試判斷 與 是否共線．

　　解：∵

　　∴ 與 共線．

練習(xí)（投影儀）

　　設(shè) 、 是兩個不共線向量，已 ， ，若 、 、 三點共線，求 的值．

參考答案

　　∵ 、 、 三點共線．

　　∴ 、 共線 存在實數(shù) ，使

　　即

　　∴ ，

3．練習(xí)反饋（投影儀）

　�。�1）若 為 的對角線交點， ， ，則 等于（     ）

　　A．          B．          C．            D．

　�。�2）在△ 中，點 、 、 分別是邊 、 、 的中點，那么 ．

　�。�3）如圖所示，在平行四邊形 中， 是 中點，點 是 上一點， 求證 、 、 三點共線．

參考答案：

　�。�1）B； （2） ；

　�。�3）設(shè) ， 則 又 ，∴ ∴ 、 、 共線．

4．總結(jié)提煉

　�。�1） 與 的積還是向量， 與 是共線的．

　　（2）一維空間向量的基本定理的內(nèi)容和證明思路，也是應(yīng)用該定理解決問題的思路．該定理主要用于證明點共線、求系數(shù)、證直線平行等題型問題．

　　（3）運算律暗示我們，化簡向量代數(shù)式就像計算多項式一樣去合并同類項．

五．板書設(shè)計

1．實數(shù)與向量的積定義

2．運算律

①

②

③

3．向量共線定理

例1

2

演練反饋

總結(jié)提煉

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