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下學期 4.11 已知三角函數值求角1
（第一課時）
一．教學目標
1．理解反正弦、反余弦、反正切的意義，并會用反三角符號表示角．
2．掌握用反三角表示 中的角．
二．教具
直尺、投影儀
三．教學過程
1．設置情境
由函數 的定義知，對定義域 中的任一元素 ，在值域 中都有一個元素 使 ，我們知道， 存在反函數時，上述值域 中的元素不僅存在，而且惟一，這時可以用 表示 ，記作 。
到目前為止，我們已經學習了正弦、余弦、正切三種重要的三角函數．試問，三角函數是否具有反函數屬性，即能否用三角函數值反映角的大小呢？如果能，又怎樣表示呢？本節(jié)課就來討論這個問題，
2．探索研究
請同學回憶一下
�。�1） ， ， ， 的誘導公式．
�。�2）師： ， ， 分別表示 與 的正弦值相等， 與 的余弦值相等， 與 的正切值相等，能否說它們表示的角也相等？為什么？
生：不能，因為在0～ 間對一個已知的三角函數值一般都有兩個角度與它對應．
師：對，同學們知道，利用誘導公式，我們可以求得任意角三角函數值，反過來，如果已知一個角的三角函數值，我們利用誘導公式也將能求出 中與之對應的角．這兩個過程是互逆的，已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范圍內可以是一個、二個，也可以是無數多個不同的解．
�。ò鍟n題——已知三角函數值求角（一））
請同學們看一個例題：
【例1】（1）已知 ，且 ，求 ．
�。�2）已知 ，且 ，求 的取值集合．
師生共同分析：
�。�1）由正弦函數在閉區(qū)間 上是增函數和 ．可知符合條件的角有且只有一個，即 ，于是 ．
�。�2）因為 ，所以 是第一或第二象限角，由正弦函數的單調性和 可知，符合條件的角有且只有兩個，即第一象限角 或第二象限角 ，∴所求的 的集合是 ．
下面給出反正弦概念，請看投影：
觀察上圖，根據正弦函數的圖像的性質，為了使符合條件 的角 有且只有一個，我們選擇閉區(qū)間 作為基本范圍，在這個閉區(qū)間上，符合條件 的角 ，叫做實數 的反正弦，記作 ，即 ，其中 ，且 ．
表示的意義： 表示一個角，角的特點是①角的正弦值為x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有滿足 的角都可以，只能是 范圍內滿足 的角；③由于x為角的正弦值，所以x的值在[-1，1]范圍內．
例如， ， ．那么例1中第（2）小題答案可以寫成 ．
練習（投影）
�。�1） 是什么意思？
�。�2）若 ， ，則 ．
�。�3）若 ， ， ．
參考答案：
（1）表示 上正弦值等于 的那個角，其實應是 ，故記作
�。�2）這個 應該是 ，因此
�。�3） ，它不是特殊角，故只能這樣抽象表示了．
下面再來建立反余弦概念．
先看下面例題：
【例2】（1）已知 ，且 ，求 ；
（2）已知 ，且 ，求 的取值集合．
師生共同分析：
解：（1）由余弦函數在閉區(qū)間 上是減函數和 ，可知符合條件的角有且只有一個，這個角為鈍角，利用計算器并由 ，可得 ，所以 ．
�。�2）因為 ，所以 是第二或第三象限角，由余弦函數的單調性和．
可知符合條件的角有且只有兩個，即第二象限角 或第三象限角 ，于是所求的 的集合是 ．
下面我們來給出反余弦定義，先看投影
觀察上圖，根據余弦函數圖像的性質，為了使符合條件 的角 有且只有一個，我們選擇閉區(qū)間 作為基本的范圍，在這個閉區(qū)間上，符合條件 的角 ，叫做實數 的反余弦，作 ，即 ，其中 ，且 ．
由學生根據反正弦的意義說明反余弦 的意義：
表示的意義： 表示一個角，角的特點是①角的余弦值為x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有滿足 的角都可以，只能是 范圍內滿足 的角；③由于x為角的余弦值，所以x的值在[-1，1]范圍內．
例如
那么，例2的第（2）題的答案可以寫成．
練習（投影）
�。�1） ， ，求 ；
�。�2）已知 ， ，求 ；
�。�3）已知 ， ，求 ．
參考答案：
�。�1） ，當 時， ；當 時， ，∴ 或 ．
（2）∵ ，∴ 或
�。�3） ，或 ．
最后，我們來嘗試用反三角表示角，請看投影．
【例3】（1）已知 ，且 ，求 （用弧度表示）；
�。�2）已知 ，且 ，求 的取值集合．
解：（1）利用計算器并由
可得 ，所以 （或 ）也可寫成
�。�2）由正弦函數的單調性和
可知 角， 角的正弦值也是 ，所以所求的 的集合是 或
注：本例第（2）小題的結果實際上就是
3．演練反饋（投影）：
�。�1）若 ， ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
�。�2）若 ，集合 ， 且 ，則 的值為___________．
�。�3） ．
參考答案：
�。�1）B．說明： 應為鈍角，故只有B．
（2） ，說明 ，只有 ，故
�。�3）∵
∴
4．總結提煉
�。�1）反三角函數的概念是中學數學較難理解的概念之一，它之所以難以理解是由于三角函數在其整個定義域內并不存在反函數，只有在某一特定區(qū)間才存在反函數因此，反三角函數的值域也就被限制在某一區(qū)間內，這個區(qū)間常稱為反三角函數的主值區(qū)間，如 ， 分別為反正弦、反余弦主值區(qū)間．解題出錯，往往是主值區(qū)間概念不清．
�。�2）由反正弦、反余弦定義，不難得：
，
，
，
，
（3）用反三角表示 中角
已知函數值
范圍
值及位置
在 軸正半軸
或
或
或
或
或
或
四．板書設計
課題
例1
反正弦概念
例2
反余弦概念
例3
用反三角函數表示角
演練反饋
總結提煉
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