下學(xué)期 4．6 兩角和與差的正弦、余弦、正切1

4．6兩角和與差的正弦、余弦、正切（第一課時）

（一）教具準(zhǔn)備

　　直尺、圓規(guī)、投影儀

（二）教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握 公式的推導(dǎo)，并能用賦值法，求出公式 ．

　　2．應(yīng)用公式 ，求三角函數(shù)值．

（三）教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

　　上一單元我們學(xué)習(xí)了同一個角的三角函數(shù)的性質(zhì)以及各三角函數(shù)之間的相互關(guān)系．本節(jié)開始討論兩個角的三角函數(shù)，已知任意角 的三角函數(shù)值，如何求出 ， 或 的三角函數(shù)值，這一節(jié)課我們將研究 、 ．

2．探索研究

（1）公式 、 推導(dǎo)．

　　請大家考慮，如果已知 、 ，怎樣求出 ？

　　 是否成立．

　　生：不成立， ， 等式就不成立．

　　師：很好，把 寫成 是想應(yīng)用乘法對加法的分配律，可是 是角 的余弦值，并不是“ ”乘以 ，不能應(yīng)用分配律．

　　事實上如果 都是銳角，那么總有 ．

　　考慮兩組數(shù)據(jù)

　　① ，        這時 ， 而

　　② ，      這時 ， 而

　　從這組數(shù)據(jù)我們發(fā)現(xiàn)不能由 、 直接得出 ．師：如果我們再算出 ， ，試試看能否找到什么關(guān)系．

　　生：① ， ， ， ，

　　 而

　�、� ， ， ， ，

  而

　　由（1）、（2）可得出，

　　師：這位同學(xué)用具體的例子得到的一個關(guān)系式：

　　

　　只有通過嚴(yán)格的理論證明才行．下面給出證明：為了證明它，首先給出兩點間的距離，圖1(也可以利用多媒體課件演示)．考慮坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點 ， 過點 分別作 軸的垂線 ， ，與 軸交于點 ， ；同理 ，

　　 那么 ， ，由勾股定理 ，由此得到平面內(nèi) 兩點間的距離公式

　　師：（可以用課件演示）如右圖2，在直角坐標(biāo)系 內(nèi)作單位圓 ，并作出角 、 與 請同學(xué)們把坐標(biāo)系中 ， ， ， 各點的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示出來．

　　生： ， ， ，

　　師：線段 與 有什么關(guān)系？為什么？

　　生：因為△ ≌△ ，所以 ．

　　師：請同學(xué)們用兩點間的距離公式把 表示出來并加以整理．

　

展開并整理，得

　　

　　所以 （記為 ）

　　這個公式對任意的 ， 均成立，如果我們把公式中的 都換成 ，又會得到什么？

　　生：

　　即     

　�。ㄓ洖� ）

（2）例題分析

【例1】不查表，求 及 的值．

　　因為題目要求不查表，所以要想辦法用特殊角計算，為此 化成 ， 化成 ，請同學(xué)們自己利用公式計算．

　　注：拆角方法并不惟一．事實上，如果求出 ，那么 ，再者， 也可寫成 ，甚至 等均可以．

【例2】已知 ， ， ， ，求 的值．

　　分析：觀察公式 要算 應(yīng)先求出 ， ．

　　解：由 ， 得

　　

　　又由 ， 得

　　

　　

　　

　　

【例3】 不查表，求下列各式的值：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

解：（1）

　　　

　�。�2）

　　　

　　　

　�。�3）

　　　

　　　

【例4】  證明公式：

（1） ；（2）

　　證明：（1）利用       可得

　　                 

　　                            

　　∴

（2）因為上式中 為任意角，故可將 換成 ，就得

　　

　　即                

練習(xí)（投影、學(xué)生板演）

　�。�1）

　�。�2）已知 ， ，求

解答：

（1）逆用公式

　　 

　　

（2）湊角：∵ ，∴ ，故

　

　 ．

　　說明：請同學(xué)們很好體會一下，上述湊角的必然性和技巧性，并能主動嘗試訓(xùn)練，以求熟練。

3．演練反饋

（1） 的值是（�。�

　　A． 　B． 　C． 　D．

（2） 等于（�。�

　　A．0　B． 　C． 　D．2

（3）已知銳角 滿足 ， ，則 為（      ）

　　A． 　B． 　C． 或 　D． ，

參考答案：（1）B； （2）B； （3）A．

4．總結(jié)提煉

　�。�1）牢記公式“ ”結(jié)構(gòu)，不符合條件的要能通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形，使之符合公式結(jié)構(gòu)，即創(chuàng)造條件用公式．

　�。�2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關(guān)系，如已知角 、 的值，求 ，應(yīng)視 、 分別為已知角， 為未知角，并實現(xiàn)“ ”與“ ”及“ ”之間的溝通： ．

　　（3）利用特值代換證明 ， ，體會 的強大功能．

（四）板書設(shè)計

1．平面內(nèi)兩點間距離公式

2．兩角和余弦公式及推導(dǎo)

例1

例2

例3

例4

練習(xí)反饋

總結(jié)提煉

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