下學(xué)期 4.5 正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式教學(xué)設(shè)計(jì)示例（一）

教學(xué)目標(biāo)：
　　1．掌握誘導(dǎo)公式及其推演時(shí)過(guò)程．
　　2．會(huì)應(yīng)用誘導(dǎo)公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值或化簡(jiǎn)．
教學(xué)重點(diǎn)：
　　理解并掌握誘導(dǎo)公式．
教學(xué)難點(diǎn)：
　　運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式．
教學(xué)用具：
　　三角板、圓規(guī)、投影儀．
教學(xué)過(guò)程：
1．設(shè)置情境
　　我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了誘導(dǎo)公式一： ， ， ，（ ），有了它就可以把任一角的三角函數(shù)求值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為 ～ 間角的三角函數(shù)值問(wèn)題．那么能否再把 ～ 間的角的三角函數(shù)求值，繼續(xù)化為我們熟悉的 ～ 間的角的三角函數(shù)求值問(wèn)題呢？如果能的話，那么任意角的三角函數(shù)求值，都可以化歸為銳角三角函數(shù)求值，并通過(guò)查表方法而得到最終解決，本課就來(lái)討論這一問(wèn)題．
2．探索研究
　�。�1）出示下列投影內(nèi)容
　　設(shè) ，對(duì)于任意一個(gè) 到 的角 ，以下四種情形中有且僅有一種成立．

　　

　　首先討論 ，其次討論 ， 以及 的三角函數(shù)值與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，為了使討論更具一般性，這里假定 為任意角．
（2）學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式二、三的推導(dǎo)過(guò)程．
　　已知任意角 的終邊與單位圓相交于點(diǎn) ，請(qǐng)同學(xué)們思考回答點(diǎn) 關(guān)于 軸、 軸、原點(diǎn)對(duì)稱的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系．
　　點(diǎn) 關(guān)于 軸對(duì)稱點(diǎn) ，關(guān)于 軸對(duì)稱點(diǎn) ，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn) （可利用演示課件）．
　　圖1由于 角的終邊與單位圓交于 ，則 的終邊就是角 終邊的反向延長(zhǎng)線，角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為 ，則 是與 關(guān)于 對(duì)稱的點(diǎn)．所以 ，又因單位圓半徑 ，由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義，可得
             
             
　　
　　  
于是得到一組公式（公式二）

　　我們?cè)賮?lái)研究角 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，如圖2，利用單位圓作出任意角 與單位圓相交于點(diǎn) ，角 的終邊與單位圓相交于點(diǎn) ，這兩個(gè)角的終邊關(guān)于 軸對(duì)稱，所以      
∵
∴
　　
于是又得到一組公式（公式三） 

【例1】求下列三角函數(shù)值：
　　（1） （2） ；　
　�。�3） ；（4） ．
解：（1）
　　　      　　　
（2）
　　　　　　　　 
　　　　　　　　　
（3）
　　　　　　　　
（4）
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
【例2】化簡(jiǎn)：
解：∵
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　　　
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
∴　原式
（3）推導(dǎo)誘導(dǎo)公式四、五
　　請(qǐng)同學(xué)們思考如何利用已學(xué)過(guò)的誘導(dǎo)公式推導(dǎo) ， 與 的三角函值之間的關(guān)系？由誘導(dǎo)公式我們可以得到
　　
　　
：
　　　　
由此可得公式四、五

　　

　　公式一、二、三、四、五都叫做誘導(dǎo)公式．概括如下： ， ， ， 的三角函數(shù)值，等于 的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把 看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，簡(jiǎn)化成“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”的口訣．
【例3】求下列各三角函數(shù)：
　�。�1） ；　　（2） ．
解：（1）
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　
　�。�2）
　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 ．
　　觀察以上的解題過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)，利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟．
學(xué)生回答后老師總結(jié)得出，在求任意角的三角函數(shù)值時(shí)一般可按以下步驟：

　　運(yùn)用誘導(dǎo)公式解題的本質(zhì)是多次運(yùn)用“化歸”思想方法，化負(fù)角為正角，化 到 的角為 到 間的角，再求值的過(guò)程．
3．演練反饋（投影儀）
　　（1）已知 ，求 的值
　�。�2）已知 ，求 的值
　�。�3）已知 ，求 的值
參考答案：
　�。�1）若 為Ⅳ象限角，則
　　　　　若 為Ⅰ象限角，則
　�。�2）
　　（3）∵
　　　　　
　　　　　
　　∴
4．本課小結(jié)
　�。�1）求任意角的三角函數(shù)式的一般程序：負(fù)（角）變正（角）→大（角）變小（角）→（一直）變到 ～ 之間（能查表）．
　�。�2）變角是有一定技巧的，如 可寫成 ，也可以寫成 不同表達(dá)方法，決定著使用不同的誘導(dǎo)公式．
　�。�3）湊角方法也體現(xiàn)出很大技巧。如，已知角“ ”，求未知角“ ”，可把 改寫成 ．
課時(shí)作業(yè)：
　　1．已知 ， 是第四象限角，則 的值是（       ）
　　A． 　　B． 　　C． 　　D．

2．下列公式正確的是（      ）
　　A． 　　B．
　　C． 　　D．
3． 的成立條件是（       ）
　　A． 為不等于 的任意角　　B．銳角
　　C． 　　　　　D． ， 且
4．在 中，下列各表達(dá)式為常數(shù)的是（       ）
　　A． 　　B．
　　C．            D．
5．化簡(jiǎn)
　　（1）
　�。�2）
6．證明恒等式
　　

參考答案：
1．A；  2．D；  3．D；  4．C；  5．（1）0，（2） ；
6．左
右

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