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上學期 2.3 函數(shù)單調性與奇偶性
教學目標
1.使學生了解奇偶性的概念,回 會利用定義判斷簡單函數(shù)的奇偶性.
2.在奇偶性概念形成過程中,培養(yǎng)學生的觀察,歸納能力,同時滲透數(shù)形結合和特殊到一般的思想方法.
3.在學生感受數(shù)學美的同時,激發(fā)學習的興趣,培養(yǎng)學生樂于求索的精神.
教學重點,難點
重點是奇偶性概念的形成與函數(shù)奇偶性的判斷
難點是對概念的認識
教學用具
投影儀,計算機
教學方法
引導發(fā)現(xiàn)法
教學過程
一. 引入新課
前面我們已經(jīng)研究了函數(shù)的單調性,它是反映函數(shù)在某一個區(qū)間上函數(shù)值隨自變量變化而變化的性質,今天我們繼續(xù)研究函數(shù)的另一個性質.從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數(shù)的性質.
對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數(shù)學中也能發(fā)現(xiàn)很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內容中,特別是函數(shù)中有沒有對稱問題呢?
(學生可能會舉出一些數(shù)值上的對稱問題, 等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時教師可以引導學生把函數(shù)具體化,如 和 等.)
結合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關于 軸對稱和關于原點對稱問題,而我們還曾研究過關于 軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數(shù)圖象關于 軸對稱的嗎?
學生經(jīng)過思考,能找出原因,由于函數(shù)是映射,一個 只能對一個 ,而不能有兩個不同的,故函數(shù)的圖象不可能關于 軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關于 軸對稱和關于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數(shù)值上的規(guī)律.
二. 講解新課
2.函數(shù)的奇偶性(板書)
教師從剛才的圖象中選出 ,用計算機打出,指出這是關于 軸對稱的圖象,然后問學生初中是怎樣判斷圖象關于 軸對稱呢?(由學生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時教師明確提出研究方向:今天我們將從數(shù)值角度研究圖象的這種特征體現(xiàn)在自變量與函數(shù)值之間有何規(guī)律?
學生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數(shù),函數(shù)值相等.教師可引導學生先把它們具體化,再用數(shù)學符號表示.(借助課件演示令 比較 得出等式 ,再令 ,得到 ,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內存在 ,使 與 不等呢?(可用課件幫助演示讓 動起來觀察,發(fā)現(xiàn)結論,這樣的 是不存在的)
從這個結論中就可以發(fā)現(xiàn)對定義域內任意一個 ,都有 成立.最后讓學生用完整的語言給出定義,不準確的地方教師予以提示或調整.
(1) 偶函數(shù)的定義:如果對于函數(shù) 的定義域內任意一個 ,都有 ,那么 就叫做偶函數(shù).(板書)
(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如 等以檢驗一下對概念的初步認識)
提出新問題:函數(shù)圖象關于原點對稱,它的自變量與函數(shù)值之間的數(shù)值規(guī)律是什么呢?(同時打出 或 的圖象讓學生觀察研究)
學生可類比剛才的方法,很快得出結論,再讓學生給出奇函數(shù)的定義.
(2) 奇函數(shù)的定義: 如果對于函數(shù) 的定義域內任意一個 ,都有 ,那么 就叫做奇函數(shù).(板書)
(由于在定義形成時已經(jīng)有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)
例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)
(1) ; (2) ;
(3) ; ;
(5) ; (6) .
(要求學生口答,選出1-2個題說過程)
解: (1) 是奇函數(shù).(2) 是偶函數(shù).
(3) , 是偶函數(shù).
前三個題做完,教師做一次小結,判斷奇偶性,只需驗證 與 之間的關系,但對你們的回答我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數(shù)的問題呢?
學生經(jīng)過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明 與 不等.如 即可說明它不是偶函數(shù).(從這個問題的解決中讓學生再次認識到定義中任意性的重要)
從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的 = 不能經(jīng)受任意性的考驗,當 時,由于 ,故 不存在,更談不上與 相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.
教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發(fā)現(xiàn)在判斷中需要注意些什么?(若學生發(fā)現(xiàn)不了定義域的特征,教師可再從定義啟發(fā),在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,從而發(fā)現(xiàn)定義域應關于原點對稱,再提出定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的什么條件?
可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結論.
(3) 定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)
由學生小結判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數(shù)中有是奇函數(shù)不是偶函數(shù),有是偶函數(shù)不是奇函數(shù),也有既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),那么有沒有這樣的函數(shù),它既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)呢?若有,舉例說明.
經(jīng)學生思考,可找到函數(shù) .然后繼續(xù)提問:是不是具備這樣性質的函數(shù)的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?
例2. 已知函數(shù) 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),求證: .(板書) (試由學生來完成)
證明: 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),
= ,且 ,
= .
,即 .
證后,教師請學生記住結論的同時,追問這樣的函數(shù)應有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經(jīng)教師提示可發(fā)現(xiàn), 只是解析式的特征,若改變函數(shù)的定義域,如 , , , ,它們顯然是不同的函數(shù),但它們都是既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).由上可知函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類
(4) 函數(shù)按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)
例3. 判斷下列函數(shù)的奇偶性(板書)
(1) ; (2) ; (3) .
由學生回答,不完整之處教師補充.
解: (1)當 時, 為奇函數(shù),當 時, 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).
(2)當 時, 既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),當 時, 是偶函數(shù).
(3) 當 時, 于是 ,
當 時, ,于是 = ,
綜上 是奇函數(shù).
教師小結 (1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數(shù),當 檢驗 ,并不能說明 具備奇偶性,因為奇偶性是對函數(shù)整個定義域內性質的刻畫,因此必須 均有 成立,二者缺一不可.
三. 小結
1. 奇偶性的概念
2. 判斷中注意的問題
四. 作業(yè) 略
五. 板書設計
2.函數(shù)的奇偶性 例1. 例3.
(1) 偶函數(shù)定義
(2) 奇函數(shù)定義
(3) 定義域關于原點對稱是函數(shù) 例2. 小結
具備奇偶性的必要條件
(4)函數(shù)按奇偶性分類分四類
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