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上學(xué)期 2.2 函數(shù)
教學(xué)目標(biāo)：
1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)三要素．
2．通過對函數(shù)抽象符號的認(rèn)識(shí)與使用，使學(xué)生在符號表示方面的能力得以提高．
3．通過函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)得過渡，使學(xué)生能從發(fā)展與聯(lián)系的角度看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念；
難點(diǎn)是對函數(shù)抽象符號的認(rèn)識(shí)與使用．
教學(xué)用具：投影儀
教學(xué)方法：自學(xué)研究與啟發(fā)討論式．
教學(xué)過程：
一、復(fù)習(xí)與引入
今天我們研究的內(nèi)容是函數(shù)的概念．函數(shù)并不象前面學(xué)習(xí)的集合，映射一樣我們一無所知，而是比較熟悉，所以我先找同學(xué)說說對函數(shù)的認(rèn)識(shí)，如函數(shù)是什么?學(xué)過什么函數(shù)?
(要求學(xué)生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義，并試舉出各類學(xué)過的函數(shù)例子)
學(xué)生舉出如 等，待學(xué)生說完定義后教師打出投影片，給出定義之后教師也舉一個(gè)例子，問學(xué)生．
提問1． 是函數(shù)嗎?
(由學(xué)生討論，發(fā)表各自的意見，有的認(rèn)為它不是函數(shù)，理由是沒有兩個(gè)變量，也有的認(rèn)為是函數(shù)，理由是可以可做 ．)
教師由此指出我們爭論的焦點(diǎn)，其實(shí)就是函數(shù)定義的不完善的地方，這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎(chǔ)上從更高的觀點(diǎn)，將它完善與深化．
二、新課
現(xiàn)在請同學(xué)們打開書翻到第50 頁，從這開始閱讀有關(guān)的內(nèi)容，再回答我的問題．(約2-3分鐘或開始提問)
提問2．新的函數(shù)的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下．
學(xué)生的回答往往是把書上的定義念一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導(dǎo)形式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì)．
(板書)2．2函數(shù)
一、函數(shù)的概念
1．定義：如果A，B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函數(shù)，記作 ．其中原象集合A稱為定義域，象集C 稱為值域．
問題3：映射與函數(shù)有何關(guān)系?(函數(shù)一定是映射嗎?映射一定是函數(shù)嗎?)
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的數(shù)集．
2．本質(zhì)：函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射．(板書)
然后讓學(xué)生試回答剛才關(guān)于 是不是函數(shù)的問題，要求從映射的角度解釋．
此時(shí)學(xué)生可以清楚的看到 滿足映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義，故是一個(gè)函數(shù)，這樣解釋就很自然．
教師繼續(xù)把問題引向深入，提出在映射的觀點(diǎn)下如何解釋 是個(gè)函數(shù)?
從映射角度看可以是 其中定義域是 ，值域是 ．
從剛才的分析可以看出，映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義更具一般性，更能揭示函數(shù)的本質(zhì)．這也是我們后面要對函數(shù)進(jìn)行理論研究的一種需要．所以我們著重從映射角度再來認(rèn)識(shí)函數(shù)．
3．函數(shù)的三要素及其作用(板書)
函數(shù)是映射，自然是由三件事構(gòu)成的一個(gè)整體，分別稱為定義域．值域和對應(yīng)法則．當(dāng)我們認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)時(shí)，應(yīng)從這三方面去了解認(rèn)識(shí)它．
例1 以下關(guān)系式表示函數(shù)嗎?為什么?
(1) ； (2) ．
解：(1)由 有意義得 ，解得 ．由于定義域是空集，故它不能表示函數(shù)．
(2) 由 有意義得 ，解得 ．定義域?yàn)?sub> ，值域?yàn)?sub> ．
由以上兩題可以看出三要素的作用
(1)判斷一個(gè)函數(shù)關(guān)系是否存在．(板書)
例2 下列各函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)與 是同一個(gè)函數(shù)．
(1) ； (2) (3) ； (4) ．
解：先認(rèn)清 ，它是 (定義域)到 (值域)的映射，其中
．
再看(1)定義域?yàn)?sub> 且 ，是不同的； (2)定義域?yàn)?sub> ，是不同的；
(4) ，法則是不同的；
而(3)定義域是 ，值域是 ，法則是乘2減1，與 完全相同．
求解后要求學(xué)生明確判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同應(yīng)看定義域和對應(yīng)法則完全一致，這時(shí)三要素的又一作用．
(2)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同．（板書）
下面我們研究一下如何表示函數(shù)，以前我們學(xué)習(xí)時(shí)雖然會(huì)表示函數(shù)，但沒有相系統(tǒng)研究函數(shù)的表示法，其實(shí)表示法有很多，不過首先應(yīng)從函數(shù)記號 說起．
4．對函數(shù)符號 的理解(板書)
首先讓學(xué)生知道 與 的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數(shù)，其中 是自變量， 是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 ，所以這個(gè)符號本身也說明函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體．下面我們舉例說明．
例3 已知函數(shù) 試求 (板書)
分析：首先讓學(xué)生認(rèn)清 的含義，要求學(xué)生能從變量觀點(diǎn)和映射觀點(diǎn)解釋，再進(jìn)行計(jì)算．
含義1：當(dāng)自變量 取3時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值即 ；
含義2：定義域中原象3的象 ，根據(jù)求象的方法知 ．而 應(yīng)表示原象 的象，即 ．
計(jì)算之后，要求學(xué)生了解 與 的區(qū)別， 是常量，而 是變量， 只是 中一個(gè)特殊值．
最后指出在剛才的題目中 是用一個(gè)具體的解析式表示的，而以后研究的函數(shù) 不一定能用一個(gè)解析式表示，此時(shí)我們需要用其他的方法表示，具體的方法下節(jié)課再進(jìn)一步研究．
三、小結(jié)
1. 函數(shù)的定義
2. 對函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí)
3. 對函數(shù)符號的認(rèn)識(shí)
四、作業(yè)：略
五、板書設(shè)計(jì)
2．2函數(shù) 例1． 例3．
一. 函數(shù)的概念
1. 定義
2. 本質(zhì) 例2． 小結(jié)：
3. 函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí)及作用
4. 對函數(shù)符號的理解
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