數(shù)學(xué)教案－數(shù)列

3.1.1數(shù)列

  教學(xué)目標(biāo)                  

    1．理解數(shù)列概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系

    2．了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)

    3．對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫出它的個(gè)通項(xiàng)公式

    4．提高觀察、抽象的能力．

  教學(xué)重點(diǎn)                  

    1．理解數(shù)列概念；

    2．用通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任意一項(xiàng)．

  教學(xué)難點(diǎn)                  

    根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式．

教學(xué)方法                    

    發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法

教具準(zhǔn)備                    

    投影片l張(內(nèi)容見(jiàn)下頁(yè))

教學(xué)過(guò)程（www.gymyzhishaji.com）                    

    （1）復(fù)習(xí)回顧

師：在前面第二章中我們一起學(xué)習(xí)了有關(guān)映射與函數(shù)的知識(shí)，現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)回顧一

下函數(shù)的定義．

    生：(齊聲回答函數(shù)定義)．

    師：函數(shù)定義(板書)

如果A、B都是非空擻 集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函數(shù)，記作： ，其中

（Ⅱ）講授新課

師：在學(xué)習(xí)第二章的基礎(chǔ)上，今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)第三章數(shù)列有關(guān)知識(shí)，首先我們來(lái)看一些例子。（放投影片）

 

4，5，6，7，8，9，10.                                                         ①

                      ②

1，0.1，0.01，0.001，0.0001….         ③

1，1.4，1.41，1.41，4，….          　 ④

-1，1，-1，1，-1，1，….              ⑤

2，2，2，2，2，

 

師：觀察這些例子，看它們有何共同特點(diǎn)？

（啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列定義）

生：歸納、總結(jié)上述例子共同特點(diǎn)：

1．  均是一列數(shù)；

2．  有一定次序

師：引出數(shù)列及有關(guān)定義

一、定義

1．  數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；

2．  項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。

各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)）。第2項(xiàng)，…，第n項(xiàng)…。

如：上述例子均是數(shù)列，其中例①：“4”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)）“9”是這個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)。

3．  數(shù)列的一般形式： ，或簡(jiǎn)記為 ，其中 是數(shù)列的第n項(xiàng)

生：綜合上述例子，理解數(shù)列及項(xiàng)定義

如：例②中，這是一個(gè)數(shù)列，它的首項(xiàng)是“1”，“ ”是這個(gè)數(shù)列的第“3”項(xiàng)，等等。

師：下面我們?cè)賮?lái)看這些數(shù)列的每一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)是否有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系？這一關(guān)系可否用一個(gè)公式表示？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列與項(xiàng)的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式）對(duì)于上面的數(shù)列②，第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

項(xiàng)        

↓   ↓    ↓    ↓    ↓

序號(hào)  1    2     3     4     5

師：看來(lái)，這個(gè)數(shù)的第一項(xiàng)與這一項(xiàng)的序號(hào)可用一個(gè)公式： 來(lái)表示其對(duì)應(yīng)關(guān)系

即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項(xiàng)

生：結(jié)合上述其他例子，練習(xí)找其對(duì)應(yīng)關(guān)系

如：數(shù)列①： =n+3(1≤n≤7)

數(shù)列③： ≥1）

數(shù)列⑤： n≥1）

    4．通項(xiàng)公式：如果數(shù)列 的第n項(xiàng) 與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

師：從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，數(shù)列也可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎�整�?shù)集N⁺（或它的有限子集 的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

師：對(duì)于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對(duì)應(yīng)圖象。看來(lái)，數(shù)列也可根據(jù)其通項(xiàng)公式來(lái)函出其對(duì)應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫數(shù)列①②的圖象。

生：根據(jù)扭注通項(xiàng)公式畫出數(shù)列①，②的圖象，并總結(jié)其特點(diǎn)。

圖3—1

特點(diǎn)：它們都是一群弧立的點(diǎn)

5．有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列

6．無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列

二、例題講解

例1：根據(jù)下面數(shù)列 的通項(xiàng)公式，寫出前5項(xiàng)：

（1）

師：由通項(xiàng)公式定義可知，只要將通項(xiàng)公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項(xiàng)。

解：（1）

    (2)

例2：寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

（1）1，3，5，7；  （2）

（3）

分析：

（1）項(xiàng)1=2×1-1  3=2×2-1  5=2×3-1  7=2×4-1

 ↓        ↓        ↓        ↓   

序號(hào)   1          2        3         4

∴ ；

（2）序號(hào)：1      2      3      4

    ↓     ↓     ↓     ↓   

項(xiàng)分母：2=1+1   3=2+1   4=3+1  5=4+1

↓      ↓      ↓     ↓   

項(xiàng)分子： 2²-1     3²-1    4²-1    5²-1

∴ ；

（3）序號(hào)                                 

             ‖            ‖                 ‖                 ‖

                 

∴

（Ⅲ）課堂練習(xí)

生：思考課本P₁₁₂練習(xí)1，2，3，4

師：[提問(wèn)]練習(xí)3，4，并根據(jù)學(xué)生回答評(píng)析

生：板演練習(xí)1，2

（Ⅳ）課時(shí)小結(jié)

師：對(duì)于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)求一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（V）課后作業(yè)

一、課本P₁₁₄習(xí)題3.1    1，2

二、1．預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P₁₁₂～P₁₃

預(yù)習(xí)提綱：①什么叫數(shù)列的遞推公式？

②遞推公式與通項(xiàng)公式有什么異同點(diǎn)？

板書設(shè)計(jì)                    

課題

一、定義

1．  數(shù)列

2．  項(xiàng)

3．  一般形式

4．  通項(xiàng)公式

5．  有窮數(shù)列

6．  無(wú)窮數(shù)列

二、例題講解

例1

 

 

 

例2

函數(shù)定義

 

教學(xué)后記                 

§3.1.2數(shù)列

    教學(xué)目標(biāo)                   

    1．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同

    2．會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)

    3．培養(yǎng)學(xué)生推理能力．

    教學(xué)重點(diǎn)                   

   根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)

    教學(xué)難點(diǎn)                   

理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系

    教學(xué)方法                   

    啟發(fā)引導(dǎo)法

    教具準(zhǔn)備                   

    投影片1張(內(nèi)容見(jiàn)下頁(yè))

教學(xué)過(guò)程（www.gymyzhishaji.com）                   

    (I)復(fù)習(xí)回顧

    師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列及有關(guān)定義，下面先來(lái)回顧一下上節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容．

    師：[提問(wèn)]上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？

    生：[回答]數(shù)列、項(xiàng)、表示形式、通項(xiàng)公式、數(shù)列分類等等．

    (Ⅱ)講授新課

    師：我們所學(xué)知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活。用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題．

    下面同學(xué)們來(lái)看此圖：鋼管堆放示意圖(投影片)．

    生：觀察圖片，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型．

    模型一：自上而下：

    第1層鋼管數(shù)為4；即：1 4＝1+3

    第2層鋼管數(shù)為5；即：2 5＝2+3

    第3層鋼管數(shù)為6；即：3 6＝3+3

    第4層鋼管數(shù)為7；即：4 7＝4+3

    第5層鋼管數(shù)為8；即：5 8＝5+3

    第6層鋼管數(shù)為9；即：6 9＝6+3

    第7層鋼管數(shù)為10；即：7 10＝7+3

若用 表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且 ≤n≤7）

師：同學(xué)們運(yùn)用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運(yùn)用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)。這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便。

師：同學(xué)們?cè)賮?lái)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律2，建立模型二）

生：自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。

即

依此類推： （2≤n≤7）

師：對(duì)于上述所求關(guān)系，若知其第1項(xiàng)，即可求出其他項(xiàng)，看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要。

一、定義：

遞推公式：如果已知數(shù)列 的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng) 與它的前一項(xiàng) （或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。

說(shuō)明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。

二、例題講解

例1：已知數(shù)列 的第1項(xiàng)是1，以后的各項(xiàng)由公式 給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。

分析：題中已給出 的第1項(xiàng)即

遞推公式：

解：據(jù)題意可知：

例2：已知數(shù)列 中， ≥3）

試寫出數(shù)列的前4項(xiàng)

解：由已知得

（Ⅲ）課堂練習(xí)

生：課本P₁₁₃練習(xí)  1，2，3（書面練習(xí)）

（板演練習(xí)1.寫出下面各數(shù)列的前4項(xiàng)，根據(jù)前4項(xiàng)寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。

（1） ≥2）

（2） ≥3）

師：給出答案，結(jié)合學(xué)生所做進(jìn)行評(píng)析。

（Ⅳ）課時(shí)小結(jié)

師：這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，課后注意理解。注意它與通項(xiàng)公式的區(qū)別在于：

1．  通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或n項(xiàng)）之間的關(guān)系。

2．  對(duì)于通項(xiàng)公式，只要將公式中的n依次取勝，2，3…即可得到相應(yīng)的項(xiàng)。而遞推公式則要已知首項(xiàng)（或前n項(xiàng)），才可求得其他的項(xiàng)。

（V）                  課后作業(yè)

一、課本P₁₁₄習(xí)題3.1    3，4

二、1．預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P₁₁₄—P₁₁₆

3．  預(yù)習(xí)提綱：①什么是等差數(shù)列？②等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法？

板書設(shè)計(jì)                    

 

課題

一、定義

1．  遞推公式：

三、例題講解

例1

例2

小結(jié)：

通項(xiàng)公式與

遞推公式區(qū)別

 

教學(xué)后記                 

 

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