數(shù)學(xué)教案－等差數(shù)列

§3.2.1等差數(shù)列

目的：1.要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的概念

2.等差數(shù)列的通項公式，并能用來解決有關(guān)問題。

重點(diǎn)：1.要證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，只要證明a_n+1-a_n等于常數(shù)即可（這里n≥1,且n∈N^*）

2.等差數(shù)列的通項公式：a_n=a₁+(n-1)d (n≥1,且n∈N^*).

3．等到差中項：若a、A、b成等差數(shù)列，則A叫做a、b的等差中項，且

難點(diǎn)：等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)。公差是每一項（從第2項起）與它的前一項的關(guān)絕對不能把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。

      等差數(shù)列通項公式的含義。等差數(shù)列的通項公式由它的首項和公差所完全確定。換句話說，等差數(shù)列的首項和公差已知，那么，這個等差數(shù)列就確定了。

過程：

一、引導(dǎo)觀察數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，……

                      3，0，-3，-6，……

                     ， ， ， ，……

                        12，9，6，3，……

       特點(diǎn)：從第二項起，每一項與它的前一項的差是常數(shù) — “等差”

二、得出等差數(shù)列的定義： （見P115）

        注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數(shù)。

1．名稱：AP     首項   公差

2．若   則該數(shù)列為常數(shù)列

3．尋求等差數(shù)列的通項公式：

              

    由此歸納為     當(dāng) 時  （成立）

       注意:  1° 等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于 的一次函數(shù)

              2° 如果通項公式是關(guān)于 的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP

          證明：若

                它是以 為首項， 為公差的AP。

              3° 公式中若  則數(shù)列遞增， 則數(shù)列遞減

  4° 圖象： 一條直線上的一群孤立點(diǎn)

三、例題： 注意在 中 ， ， ， 四數(shù)中已知三個可以

       求出另一個。

例1 （P115例一）

例2 （P116例二）  注意：該題用方程組求參數(shù)

例3 （P116例三）  此題可以看成應(yīng)用題

四、  關(guān)于等差中項： 如果 成AP 則

      證明：設(shè)公差為 ，則  

            ∴

   例4  《教學(xué)與測試》P77 例一：在-1與7之間順次插入三個數(shù) 使這五個數(shù)成AP，求此數(shù)列。

       解一：∵   ∴ 是-1與7 的等差中項

∴    又是-1與3的等差中項

 ∴

             又是1與7的等差中項  ∴

       解二：設(shè)  ∴

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7

五、判斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

      1．定義法：即證明

        例5、已知數(shù)列 的前 項和 ，求證數(shù)列 成等差數(shù)列，并求其首項、公差、通項公式。 

          解：                      

當(dāng) 時  

             時 亦滿足  ∴

              首項     

               ∴ 成AP且公差為6

     2．中項法： 即利用中項公式，若 則 成AP。

           例6   已知 ， ， 成AP，求證 ， ， 也成AP。

             證明： ∵ ， ， 成AP  

   ∴ 化簡得：                                       

                        

                      =

                 ∴ ， ， 也成AP

         3．通項公式法：利用等差數(shù)列得通項公式是關(guān)于 的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

         例7  設(shè)數(shù)列 其前 項和 ，問這個數(shù)列成AP嗎？

            解： 時        時

                   ∵    ∴    

                   ∴ 數(shù)列 不成AP   但從第2項起成AP。

五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項公式、等差中項、等差數(shù)列的證明方法

六、作業(yè)： P118 習(xí)題3．2    1-9

   七、練習(xí)：

       1．已知等差數(shù)列{a_n}，（1）a_n=2n+3,求a₁和d   （2）a₅=20,a₂₀=-35,寫出數(shù)列的通項公式及a_100.

       2.在數(shù)列{a_n}中，a_n=3n-1，試用定義證明{a_n}是等差數(shù)列，并求出其公差。

         注：不能只計算a₂-a₁、_、a₃-a₂、a₄-a₃、等幾項等于常數(shù)就下結(jié)論為等差數(shù)列。

       3．在1和101中間插入三個數(shù)，使它們和這兩個數(shù)組成等差數(shù)列，求插入的三個數(shù)。

       4．在兩個等差數(shù)列2，5，8，…與2，7，12，…中，求1到200內(nèi)相同項的個數(shù)。

          分析：本題可采用兩種方法來解。

            （1）用不定方程的求解方法來解。關(guān)鍵要從兩個不同的等差數(shù)列出發(fā)，根據(jù)

相同項，建立等式，結(jié)合整除性，尋找出相同項的通項。

            （2）用等差數(shù)列的性質(zhì)來求解。關(guān)鍵要抓�。簝蓚�等差數(shù)列的相同項按原來的前后次序仍組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數(shù)。

      5．在數(shù)列{a_n}中, a₁=1,a_n= ,(n≥2),其中S_n=a₁+a₂+…+a_n.證明數(shù)列是等

差數(shù)列，并求S_n。

        分析：只要證明 (n≥2)為一個常數(shù)，只需將遞推公式中的a_n轉(zhuǎn)化

為S_n-S_n-1后再變形，便可達(dá)到目的。

     6．已知數(shù)列{a_n}中，a_n-a_n-1=2(n≥2), 且a₁=1，則這個數(shù)列的第10項為（  ）

        A  18       B 19       C 20       D21

     7．已知等差數(shù)列{a_n}的前三項為a-1,a+1,2a+3,則此數(shù)列的公式為（    ）

        A  2n-5     B  2n+1     C  2n-3    D  2n-1

     8.已知m、p為常數(shù)，設(shè)命題甲：a、b、c成等差數(shù)列；命題乙：ma+p、 mb+p 、mc+p

成等差數(shù)列，那么甲是乙的（   ）

A 充分而不必要條件    B 必要而不充分條件

C 充要條件            D既不必要也不充分條件

9．（1）若等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=b,a₁₀=c(b≠c),則a₁₅=       

  （2）首項為-12的等差數(shù)列從第8項開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是      

  （3）在正整數(shù)100至500之間能被11整除的整數(shù)的個數(shù)是      

10．已知a₅=11,a₈=5,求等差數(shù)列{a_n}的通項公式。

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項S_n=n²+2n+4(n∈N^*)

(1)   寫出這個數(shù)列的前三項a_1,a₂,a₃;

(2)   證明：除去首項后所成的數(shù)列a₂,a₃,a₄…是等差數(shù)列。

     12．已知兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有100項，問它們有多少個共同的項？

     13．若關(guān)于x的方程x²-x+a=0和x²-x+b=0（a≠b）的4個根可以組成首項為 的等到差數(shù)列，求a+b 的值。

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