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數學教案－對數
教學目標
1．理解對數的概念，掌握對數的運算性質．
(1) 了解對數式的由來和含義，清楚對數式中各字母的取值范圍及與指數式之間的關系．能認識到指數與對數運算之間的互逆關系．
(2) 會利用指數式的運算推導對數運算性質和法則，能用符號語言和文字語言描述對數運算法則，并能利用運算性質完成簡單的對數運算．
(3) 能根據概念進行指數與對數之間的互化．
2．通過對數概念的學習和對數運算法則的探究及證明，培養(yǎng)學生從特殊到一般的概括思維能力，滲透化歸的思想，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力．
3．通過對數概念的學習，培養(yǎng)學生對立統一，相互聯系，相互轉化的思想．通過對數運算法則的探究，使學生善于發(fā)現問題，揭示數學規(guī)律從而調動學生思維的積極參與，培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力及大膽探索，實事求是的科學精神．
教學建議
教材分析
(1) 對數既是一個重要的概念，又是一種重要的運算，而且它是與指數概念緊密相連的．它們是對同一關系從不同角度的刻畫，表示為當 時， ．所以指數式 中的底數，指數，冪與對數式 中的底數，對數，真數的關系可以表示如下：
(2) 本節(jié)的教學重點是對數的定義和運算性質，難點是對數的概念．
對數首先作為一種運算，由 引出的，在這個式子中已知一個數 和它的指數求冪的運算就是指數運算，而已知一個數和它的冪求指數就是對數運算(而已知指數和冪求這個數的運算就是開方運算)，所以從方程角度來看待的話，這個式子有三個量，知二求一．恰好可以構成以上三種運算，所以引入對數運算是很自然的，也是很重要的，也就完成了對 的全面認識．此外對數作為一種運算除了認識運算符號“ ”以外，更重要的是把握運算法則，以便正確完成各種運算，由于對數與指數在概念上相通，使得對數法則的推導應借助指數運算法則來完成，脫到過程又加深了指對關系的認識，自然應成為本節(jié)的重點，特別予以關注．
對數運算的符號的認識與理解是學生認識對數的一個障礙，其實 與+， 等符號一樣表示一種運算，不過對數運算的符號寫在前面，學生不習慣，所以在認識上感到有些困難．
教法建議
（1）對于對數概念的學習，一定要緊緊抓住與指數之間的關系，首先從指數式中理解底數 和真數 的要求，其次對于對數的性質 及零和負數沒有對數的理解也可以通過指數式來證明，驗證．同時在關系的指導下完成指數式和對數式的互化．
�。�2）對于運算法則的探究，對層次較高的學生可以采用“概念形成”的學習方式通過對具體例子的提出，讓形式的認識由感性上升到理性，由特殊到一般歸納出法則，再利用指數式與對數式的關系完成證明，而其他法則的證明應引導學生利用已證結論完成，強化“用數學”的意識．
�。�3）對運算法則的認識，首先可以類比指數運算法則對照記憶，其次強化法則使用的條件或者說成立的條件是保證左，右兩邊同時都有意義，因此要注意每一個對數式中字母的取值范圍．最后還要讓學生認清對數運算法則可使高一級的運算轉化為低一級的運算，這樣不僅加快了計算速度，也簡化了計算方法，顯示了對數計算的優(yōu)越性．
教學設計示例
對數的運算法則
教學目標
1．理解并掌握對數性質及運算法則，能初步運用對數的性質和運算法則解題．
2．通過法則的探究與推導，培養(yǎng)學生從特殊到一般的概括思想，滲透化歸思想及邏輯思維能力．
3．通過法則探究，激發(fā)學生學習的積極性．培養(yǎng)大膽探索，實事求是的科學精神．
教學重點，難點
重點是對數的運算法則及推導和應用
難點是法則的探究與證明．
教學方法
引導發(fā)現法
教學用具
投影儀
教學過程（www.gymyzhishaji.com）
一. 引入新課
我們前面學習了對數的概念，那么什么叫對數呢?通過下面的題目來回答這個問題．
如果看到 這個式子會有何聯想?
由學生回答(1) (2) (3) (4) ．
也就要求學生以后看到對數符號能聯想四件事．從式子中，可以總結出從概念上講，對數與指數就是一碼事，從運算上講它們互為逆運算的關系．既然是一種運算，自然就應有相應的運算法則，所以我們今天重點研究對數的運算法則．
二．對數的運算法則(板書)
對數與指數是互為逆運算的，自然應把握兩者的關系及已知的指數運算法則來探求對數的運算法則，所以我們有必要先回顧一下指數的運算法則．
由學生回答后教師可用投影儀打出讓學生看： ， ， ．
然后直接提出課題：若 是否成立?
由學生討論并舉出實例說明其不成立(如可以舉 而 )，教師在肯定結論的正確性的同時再提出
可提示學生利用剛才的反例，把 5改寫成 應為 ，而32=2 ，還可以讓學生再找?guī)讉�例子， ．之后讓學生大膽說出發(fā)現有什么規(guī)律?
由學生回答應有 成立．
現在它只是一個猜想，要保證其對任意 都成立，需要給出相應的證明，怎么證呢?你學過哪些與之相關的證明依據呢?
學生經過思考后找出可以利用對數概念，性質及與指數的關系，再找學生提出證明的基本思路，即對數問題先化成指數問題，再利用指數運算法則求解．找學生試說證明過程，教師可適當提示，然后板書．
證明：設 則 ，由指數運算法則
得
，
即 ． (板書)
法則出來以后，要求學生能 從以下幾方面去認識：
(1) 公式成立的條件是什么?(由學生指出．注意是每個真數都大于零，每個對數式都有意義為使用前提條件)．
(2)能用文字語言敘述這條法則：兩個正數的積的對數等于這兩個正數的對數的和．
(3)若真數是三個正數，結果會怎樣?很容易可得 ．
(條件同前)
(4)能否利用法則完成下面的運算：
例1：計算
(1) (2) (3)
由學生口答答案后，總結法則從左到右使用運算的級別降低了，從右到左運算是升級運算，要求運算從雙向把握．然后提出新問題：
．
可由學生說出 ．得到大家認可后，再讓學生完成證明．
證明：設 則 ，由指數運算法則得
．
教師在肯定其證明過程的同時，提出是否還有其它的證明方法?能否用上剛才的結論?
有的學生可能會提出把 看成 再用法則，但無法解決 計算問題，再引導學生如何回避 的問題．經思考可以得到如下證法
．或證明如下
，再移項可得證．以上兩種證明方法都體現了化歸的思想，而且后面的證法中使用的拆分技巧“化減為加”也是會經常用到的．最后板書法則2，并讓學生用文字語言敘述法則2．(兩個正數的商的對數等于這兩個正數的對數的差)
請學生完成下面的計算
(1) (2) ．
計算后再提出剛才沒有解決的問題即 并將其一般化改為 學生在說出結論的同時就可給出證明如下：
設 則 ， ．教師還可讓學生思考是否還有其它證明方法，可在課下研究．
將三條法則寫在一起，用投影儀打出，并與指數的法則進行對比．然后要求學生從以下幾個方面認識法則
(1) 了解法則的由來．(怎么證)
(2) 掌握法則的內容．(用符號語言和文字語言敘述)
(3) 法則使用的條件．(使每一個對數都有意義)
(4) 法則的功能．(要求能正反使用)
三．鞏固練習
例2．計算
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
解答略
對學生的解答進行點評．
例3．已知 ，用 的式子表示
(1) (2) �。�3) ．
由學生上黑板寫出求解過程．
四．小結
1．運算法則的內容
2．運算法則的推導與證明
3．運算法則的使用
五．作業(yè)略
六．板書設計
二．對數運算法則 例1 例3
1. 內容
(1)
(2)
(3) 例2 小結
2. 證明
3. 對法則的認識 (1)條件 (2)功能
試研究如下問題．
（1）已知 求證： 或
�。�2）若 都是正數且至少有一個不為1，且 ，則 之間的關系是_____________________．
答案：
�。�1）證明略
�。�2） 或 ．
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