正弦和余弦

教學(xué)建議

　　1．知識結(jié)構(gòu)：本小節(jié)主要學(xué)習(xí)正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一個銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關(guān)系，以及應(yīng)用上述知識解決一些簡單問題（包括引言中的問題）等.

　　2．重點、難點分析

　�。�1） 正弦、余弦函數(shù)的定義是本節(jié)的重點，因為它是全章乃至整個三角學(xué)的預(yù)備知識.有了正弦、余弦函數(shù)的定義，再學(xué)習(xí)正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數(shù)便都有了基礎(chǔ).

　�。�2） 正弦、余弦的概念隱含著角度與數(shù)值之間有一一對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想，并且用含有幾個字母的符號組sinA，cosA來表示，學(xué)生過去未接觸過，所以正弦、余弦的概念是難點.

　　3．理解一個銳角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函數(shù)的核心.

　　銳角的正弦、余弦值是這樣規(guī)定的：當(dāng)一個銳角確定了，那么這個銳角所在的直角三角形雖然有無窮多個，但它們都是彼此相似的.如上圖，當(dāng) 確定時，包含 的直角三角形有無窮多個，但它們彼此相似：

　　 ∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的對應(yīng)邊成比例，所以這些三角形的對應(yīng)邊的比都是相等的.

　　

　　這就是說，每當(dāng)一個銳角確定了，包含這個角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了，它們有確定不變的對應(yīng)關(guān)系.為了簡單地表達這些對應(yīng)關(guān)系，我們引入了正（余）弦的說法，創(chuàng)造了sin 和cos這樣的符號.

　　應(yīng)當(dāng)注意：單獨寫出三角函數(shù)的符號 或cos等是沒有意義的.因為它們離開了確定的銳角是無法顯示出它的含義；另一方面，這些符號和角寫在一起時（如 ），它表示的就不再是角，而是一個特定的三角形的兩條邊的比值了（如 ）.真正理解并掌握這些，才真正掌握了這些符號的含義，才能正確地運用它們.

　　4． 我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會認識任何位置的直角三角形中的一個銳角的正弦、余弦的表達式.

　　我們不僅應(yīng)當(dāng)熟練掌握如圖那樣的標(biāo)準(zhǔn)位置的直角三角形的正弦、余弦的表達式，而且能熟練地寫出無論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達式.如， 如圖所示，若 ，則有

　　有的直角三角形隱藏在更復(fù)雜的圖形中，我們也應(yīng)能正確地寫出所需要的三角函數(shù)表達式，如圖中，ABCD是梯形， ，作 ， 我們應(yīng)正確地寫出如下的三角函數(shù)關(guān)系式：

　　

　　

　　很顯然，這些表達式提供給我們豐富的邊與角間的數(shù)量關(guān)系.

　　5．特殊角的正弦、余弦值既容易導(dǎo)出，也便于記憶，應(yīng)當(dāng)熟悉掌握它們.

　　利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三邊的比；如圖（1）和圖（2）所示.

　　根據(jù)定義，有

　　

　　另一方面，可以想像，當(dāng) 時，邊 與AC重合（即 ），所以

　　當(dāng) 時，邊AB與CB重合（即AB=CB），AC的長縮小為0，于是，有

　　把以上結(jié)果可以集中列出下面的表：

 

0

1

1

0

　　6．教法建議：

　�。�1）聯(lián)系實際，提出問題

　　通過修建揚水站時，要沿斜坡鋪設(shè)水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問題，第一步把這問題歸結(jié)于直角三角形中，第二步，再把這個問題歸于直角三角形中，已知一個銳角和斜邊的長，求這個銳角所對直角邊的一個幾何問題．同時指出在這種情況下，用已學(xué)過的勾股定理是解決不了的．激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生探索新途徑，迫切需要學(xué)習(xí)新知識的積極性．在這章的第一節(jié)課，應(yīng)抓住這個具有教育性，富于啟發(fā)性的有利開端，為引進本章的重要內(nèi)容：銳角三角函數(shù)作了十分必要的準(zhǔn)備．

　　(2) 動手度量、總結(jié)規(guī)律、給出定義以含 的三角板為例讓學(xué)生對大小不同的三角板進行度量，并引導(dǎo)學(xué)生得出規(guī)律： ，再進一步對含 的三角板進行度量，在探索同樣的內(nèi)容時，要用到勾股定理，又類似地得到，所有的這種等腰直角三角形中，都會得到 ,這時，應(yīng)當(dāng)即給出 的正弦的定義及符號，即 ，再對照圖形，分別用a、b、c表示 、 、 的對邊，得出 及 ， 就這樣非常簡潔地得到銳角三角函數(shù)的第一個定義，應(yīng)充分利用課本中這種簡練的處理手段，使學(xué)生建立起銳角三角函數(shù)的概念.

　　(3)加強數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)

　　“解直角三角形”編在幾何教材中，突出了它的幾何特點，但這只是從知識的系統(tǒng)性方面講的，使它與幾何前后知識可關(guān)系更緊密，便于學(xué)生理解和掌握，并沒有改變它形數(shù)結(jié)合的本質(zhì)，因此教學(xué)中要充分利用這部分教材，幫助學(xué)生掌握用代數(shù)方法解決幾何問題的方法，提高在幾何問題中注意運用代數(shù)知識的能力．

第一課時

　　一、教學(xué)目標(biāo)

　　1. 使學(xué)生知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實。

　　2.逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力。

　　3.引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　1．教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和探索研究相結(jié)合，嘗試成功教法。

　　2．學(xué)生學(xué)法：在教師的指導(dǎo)下，積極思維，相互討論，動手感知，探索新知。

　　三、重點、難點、疑點及解決辦法

　　1．重點：使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實。

　　2．難點：學(xué)生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實，關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，得出結(jié)論。

　　3．疑點：無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的。

　　4．解決辦法：教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析、討論，解決重難點和疑點。

　　四、教具準(zhǔn)備

　　自制投影片，一副三角板

　　五、教學(xué)步驟

　�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)

　　1．如圖，長5米的梯子架在高為3米的墻上，則 、 間距離為多少米？

　　2．長5米的梯子以傾斜角 為30°靠在墻上，則 、 間的距離為多少？

　　3．若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上，則 、 間距離為多少？

　　4．若長5米的梯子靠在墻上，使 、 間距離為2米，則傾斜角為多少度？

　　前兩個問題學(xué)生很容易回答，這兩個問題的設(shè)計主要是引起學(xué)生的回憶，并使學(xué)生意識到，本章要用到這些知識，但后兩個問題的設(shè)計卻使學(xué)生感到疑惑，這對初三年級這些好奇、好勝的學(xué)生來說，起到激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的作用，同時使學(xué)生對本章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的特點有一個初步的了解，有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的，解決這類問題，關(guān)鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個未知銳角，只要做到這一點，有關(guān)直角三角形的其他未知邊角就可用學(xué)過的知識全部求出來。

　　通過四個例子引出課題。

　�。ǘ�）整體感知

　　1．請每一位同學(xué)拿出自己的三角板，分別測量并計算30°、45°、60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值。

　　學(xué)生很快便會回答結(jié)果：無論三角尺大小如何，其比值是一個固定的值，程度較好的學(xué)生還會想到，以后在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長，就可求出其他未知邊的長。

　　2．請同學(xué)畫一個含40°角的直角三角形，并測量、計算40°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值，學(xué)生又高興地發(fā)現(xiàn)，不論三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分學(xué)生可能會想到，當(dāng)銳角取其他固定值時，其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎？

　　這樣做，在培養(yǎng)學(xué)生動手能力的同時，也使學(xué)生對本節(jié)課要研究的知識有了整體感知，喚起學(xué)生的求知欲，大膽地探索新知。

　�。ㄈ�）教學(xué)過程

　　 1．通過動手實驗，學(xué)生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”，但是怎樣證明這個命題呢？學(xué)生這時的思維很活躍，對于這個問題，部分學(xué)生可能能解決它，因此教師此時應(yīng)讓學(xué)生展開討論，獨立完成。

　　2．學(xué)生經(jīng)過研究，也許能解決這個問題．若不能解決，教師可適當(dāng)引導(dǎo)：

　　若一組直角三角形有一個銳角相等，可以把其頂點 ， ， 重合在一起，記作 ，并使直角邊 ， ， ……落在同一條直線上，則斜邊 ， ， ……落在另一條直線上，這樣同學(xué)們能解決這個問題嗎？引導(dǎo)學(xué)生獨立證明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在這些直角三角形中， 的對邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個固定值。

　　通過引導(dǎo)，使學(xué)生自己獨立掌握了重點，達到知識教學(xué)目標(biāo)，同時培養(yǎng)學(xué)生能力，進行了德育滲透。

　　而前面導(dǎo)課中動手實驗的設(shè)計，實際上為突破難點而設(shè)計。這一設(shè)計同時起到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用。

　　3．練習(xí)：教科書P3練習(xí)。此題為 作了孕伏，同時使學(xué)生知道任意銳角的對邊與斜邊的比值都能求出來。

　�。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴展

　　1．引導(dǎo)學(xué)生作知識總結(jié)：本節(jié)課在復(fù)習(xí)勾股定理及含30°角直角三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過動手實驗、證明，我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的。

　　教師可適當(dāng)補充：本節(jié)課經(jīng)過同學(xué)們自己動手實驗，大膽猜測和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)了一個新的結(jié)論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚這種創(chuàng)新精神，變被動學(xué)知識為主動發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識。

　　2．?dāng)U展：當(dāng)銳角為30°時，它的對邊與斜邊比值我們知道，今天我們又發(fā)現(xiàn)，銳角任意時，它的對邊與斜邊的比值也是固定的，如果知道這個比值，已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了，看來這個比值很重要，下節(jié)課我們就著重研究這個“比值”，有興趣的同學(xué)可以提前預(yù)習(xí)一下，通過這種擴展，不僅對下、余弦概念有了初步印象，同時又激發(fā)了學(xué)生的興趣。

　　六、布置作業(yè)

　　本節(jié)課內(nèi)容較少，而且是為正、余弦概念打基礎(chǔ)的，因此課后應(yīng)要求學(xué)生預(yù)習(xí)正余弦概念。

　　七、板書設(shè)計

 
第二課時

　　一、教學(xué)目標(biāo)

　　1．使學(xué)生初步了解正弦、余弦概念；能夠較正確地用 、 表示直角三角形中兩邊的比；熟記特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根據(jù)這些值說出對應(yīng)的銳角度數(shù).

　　2．逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能力.

　　3．滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的運動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點.

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　1．教學(xué)方法：指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)探索法.

　　2．學(xué)生學(xué)法：自主、合作、探究式學(xué)習(xí).

　　三、重點、難點、疑點及解決方法

　　1．教學(xué)重點：使學(xué)生了解正弦、余弦概念.

　　2．教學(xué)難點：用含有幾個字母的符號組 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.

　　3．疑點：銳角的正弦、余弦值的范圍.

　　4．解決辦法：通過舊知創(chuàng)設(shè)情境，采用從特殊到一般的方法，引導(dǎo)學(xué)生進行探究式學(xué)習(xí)，從而解決重難點及疑點.

　　四、教具準(zhǔn)備

　　三角板一副

　　五、教學(xué)步驟

　�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)

　　1．引導(dǎo)學(xué)生回憶“直角三角形銳角固定時，它的對與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.”

　　2．明確目標(biāo)：這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的比值—正弦和余弦.

　�。ǘ�）整體感知

　　當(dāng)直角三角形有一銳角為30°時，它的對邊與斜邊的比值為 ，只要知道三角形任一邊長，其他兩邊就可知.

　　而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定，這樣只要能求出這個比值，那么求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了.

　　通過與“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”相類比，學(xué)生自然產(chǎn)生想學(xué)習(xí)的欲望，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，同時對以下要研究的內(nèi)容有了大體印象.

　�。ㄈ�）教學(xué)過程

　　正弦、余弦的要領(lǐng)是全章知識的基礎(chǔ)，對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與工作都十分重要，因此確定它為本課重點，同時正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對應(yīng)的函數(shù)思想，又用含幾個字母的符號組來表示，因此概念也是難點.

　　在上節(jié)課研究的基礎(chǔ)上，引入正、余弦，“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”.如圖

　　請學(xué)生結(jié)合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養(yǎng)學(xué)生概括能力及語言表達能力，教師板書：在 中， 為直角，我們把銳角 的對邊與余邊的比叫做 的正弦，記作 ，銳角 的鄰邊與斜邊的比叫做 的余弦，記作 .

　　 .

　　若把 的對邊 記作 ，鄰邊 記作 ，斜邊 記作 ，則 ， .

　　引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng) 為銳角時， 、 的值會在什么范圍內(nèi)？得結(jié)論 ， （ 為銳角），這個問題對于較差學(xué)生來說有些難度，應(yīng)給學(xué)生充分思考時間，同時這個問題也使學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來.

　　教材例1的設(shè)置是為了鞏固正弦概念，通過教師示范，使學(xué)生會求正弦，這里不妨增問“ 、 ”，經(jīng)過反復(fù)強化，使全體學(xué)生都達到目標(biāo)，更加突出重點.

　　【例1】求出如下圖所示的 中的 、 和 、 的值.

　　

　　解：（1）∵斜邊 ，

　　∴ ， ．

　　 ， ．

　�。�2） ， ．

　　 ，

　　∴ ， ．

　　學(xué)生練習(xí)教材P6～7中1、2、3題．

　　讓每個學(xué)生畫含30°、45°的直角三角形，分別求 、 、 和 、 、 .這一練習(xí)既用到以前的知識，又鞏固正弦、余弦的概念，經(jīng)過學(xué)習(xí)親自動筆計算后，對特殊角三角函數(shù)值印象很深刻.

　　 ， ， ．

　　 ， ， ．

　　【例2】求下列各式的值：

　�。�1） ；（2） ．

　　解：（1） ．

　�。�2） ．

　　這了使學(xué)生熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，這里還應(yīng)安排六個小題：

　�。�1） ；（2） ；

　�。�3） ；（4） ．

　�。�5）若 ，則銳角 .

　�。�6）若 ，則銳角 .

　　在確定每個學(xué)生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后，引導(dǎo)學(xué)生思考，“請大家觀察特殊角的正弦和余弦值，猜測一下， 大概在什么范圍內(nèi)， 呢？”這樣的引導(dǎo)不僅培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、注意力，而且培養(yǎng)學(xué)生勇于思考、大膽創(chuàng)新的精神，還可以進一步請成績較好的同學(xué)用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.

　�。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴展

　　首先請學(xué)生作小結(jié)，教師適當(dāng)補充，“主要研究了銳角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值，知道任意銳角A的正、余弦值都在0～1之間，即

　　 ，　　 （ 為銳角）．

　　還發(fā)現(xiàn) 的兩銳角 、 ， ， ，正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.

　　六、布置作業(yè)

　　教材P10中2，3.

　　預(yù)習(xí)下一課內(nèi)容.

　　補充：（1）若 ，則銳角 ．

　�。�2）若 ，則銳角 ．

　　七、板書設(shè)計

　　

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