數學教案－圓的內接四邊形

1. 知識結構

 

　　2. 重點、難點分析

　　重點：圓內接四邊形的性質定理．它是圓中探求角相等或互補關系的常用定理，同時也是轉移角的常用方法．

　　難點：定理的靈活運用．使用性質定理時應注意觀察圖形、分析圖形，不要弄錯四邊形的

　　外角和它的內對角的相互對應位置．

　　3. 教法建議

　　本節(jié)內容需要一個課時．

　�。�1）教師的重點是為學生創(chuàng)設一個探究問題的情境（參看教學設計示例），組織學生自主觀察、分析和探究；

　�。�2）在教學中以“發(fā)現——證明——應用”為主線，以“特殊——一般”的探究方法，引導學生發(fā)現與證明的思想方法．

一、教學目標：

　�。ㄒ唬┲�識目標

　�。�1）了解圓內接多邊形和多邊形外接圓的概念；

　�。�2）掌握圓內接四邊形的概念及其性質定理；

　　（3）熟練運用圓內接四邊形的性質進行計算和證明．

　�。ǘ�）能力目標

　�。�1）通過圓的特殊內接四邊形到圓的一般內接四邊形的性質的探究，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力；

　�。�2）通過定理的證明探討過程，促進學生的發(fā)散思維；

　　（3）通過定理的應用，進一步提高學生的應用能力和思維能力．

　　（三）情感目標

　�。�1）充分發(fā)揮學生的主體作用，激發(fā)學生的探究的熱情；

　�。�2）滲透教學內容中普遍存在的相互聯系、相互轉化的觀點．

　　二、教學重點和難點:

　　重點：圓內接四邊形的性質定理．

　　難點：定理的靈活運用．

　　三、教學過程（www.gymyzhishaji.com）設計

 

　�。ㄒ唬┗�本概念

　　如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓．如圖中的四邊形ABCD叫做⊙O的內接四邊形，而⊙O叫做四邊形ABCD的外接圓．

　�。ǘ�）創(chuàng)設研究情境

　　問題：一般的圓內接四邊形具有什么性質？

　　研究：圓的特殊內接四邊形（矩形、正方形、等腰梯形）

　　教師組織、引導學生研究．

　　1、邊的性質：

　�。�1）矩形：對邊相等，對邊平行．

　�。�2）正方形：對邊相等，對邊平行，鄰邊相等．

　�。�3）等腰梯形：兩腰相等，有一組對邊平行．

　　歸納：圓內接四邊形的邊之間看不出存在什么公同的性質．

　　2、角的關系

　　 

　　猜想：圓內接四邊形的對角互補．

�。ㄈ�）證明猜想

　　教師引導學生證明．（參看思路）

　　思路1：在矩形中，外接圓心即為它的對角線的中點，∠A與∠B均為平角∠BOD的一半，在一般的圓內接四邊形中，只要把圓心O與一組對頂點B、D分別相連，能得到什么結果呢?

 

　　∠A= ，∠C=

　　∴∠A+∠C=

　　思路2：在正方形中，外接圓心即為它的對角線的交點．把圓心與各頂點相連，與各邊所成的角均方45°的角．在一般的圓內接四邊形中，把圓心與各頂點相連，能得到什么結果呢?

 

　　這時有2(α+β+γ+δ)=360°

　　所以  α+β+γ+δ=180°

　　而    β+γ=∠A，α+δ=∠C，

　　∴∠A+∠C=180°，可得，圓內接四邊形的對角互補．

　�。ㄋ模┬再|及應用

　　定理：圓的內接四邊形的對角互補，并且任意一個外角等于它的內對角．

　　（對A層學生應知，逆定理成立， 4點共圓）

　　例  已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，經過A的直線與⊙O₁交于點C，與⊙O₂交于點D．過B的直線與⊙O₁交于點E，與⊙O₂交于點F．

　　求證：CE∥DF．

 

　�。ǚ治雠c證明學生自主完成）

　　說明：①連結AB這是一種常見的引輔助線的方法．對于這道例題，連結AB以后，可以構造出兩個圓內接四邊形，然后利用圓內接四邊形的關于角的性質解決．

　�、诮處熢谡n堂教學中，善于調動學生對例題、重點習題的剖析，多進行一點一題多變，一題多解的訓練，培養(yǎng)學生發(fā)散思維，勇于創(chuàng)新．

　　鞏固練習：教材P98中1、2．

　�。ㄎ澹┬〗Y

　　知識：圓內接多邊形——圓內接四邊形——圓內接四邊形的性質．

　　思想方法：①“特殊——一般”研究問題的方法；②構造圓內接四邊形；③一題多解，一題多變．

　　（六）作業(yè)：教材P101中15、16、17題；教材P102中B組5題．

探究活動

　　問題： 已知，點A在⊙O上，⊙A與⊙O相交于B、C兩點，點D是⊙A上（不與B、C重合）一點，直線BD與⊙O相交于點E．試問：當點D在⊙A上運動時，能否判定△CED的形狀？說明理由．

　　分析  要判定△CED的形狀，當運動到BD經過⊙A的圓心A時，此時點E與點A重合，可以發(fā)現△CED是等腰三角形，從而猜想對一般情況是否也能成立，進一步觀察可發(fā)現在運動過程中∠D及∠CED的大小保持不變，△CED的形狀保持不變．

　　

　　提示：分兩種情況

　　（1）當點D在⊙O外時．證明△CDE∽△CAD’即可

　�。�2）當點D在⊙O內時． 利用圓內接四邊形外角等于內對角可證明△CDE∽△CAD’即可

　　說明：（1）本題應用同弧所對的圓周角相等，及圓內接四邊形外角等于內對角，改變圓周角頂點位置，進行角的轉換；

　�。�2）本題為圖形形狀判定型的探索題，結論的探索同樣運用圖形運動思想，證明結論將一般位置轉化成特殊位置，同時獲得添輔助線的方法，這也是添輔助線的常用的思想方法；

　　（3）一般地，有時對幾種不同位置圖形探索得到相同結論，但不同位置的證明方法不同時，也要進行分類討論．本題中，如果將直線BD運動到使點E在BD的反向延長線上時，
△CDE仍然是等腰三角形．

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