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數(shù)學(xué)教案－正弦和余弦
教學(xué)建議
1．知識(shí)結(jié)構(gòu)：本小節(jié)主要學(xué)習(xí)正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一個(gè)銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關(guān)系，以及應(yīng)用上述知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題（包括引言中的問(wèn)題）等.
2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
（1） 正弦、余弦函數(shù)的定義是本節(jié)的重點(diǎn)，因?yàn)樗侨履酥琳麄�(gè)三角學(xué)的預(yù)備知識(shí).有了正弦、余弦函數(shù)的定義，再學(xué)習(xí)正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函數(shù)便都有了基礎(chǔ).
�。�2） 正弦、余弦的概念隱含著角度與數(shù)值之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)思想，并且用含有幾個(gè)字母的符號(hào)組sinA，cosA來(lái)表示，學(xué)生過(guò)去未接觸過(guò)，所以正弦、余弦的概念是難點(diǎn).
3．理解一個(gè)銳角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函數(shù)的核心.
銳角的正弦、余弦值是這樣規(guī)定的：當(dāng)一個(gè)銳角確定了，那么這個(gè)銳角所在的直角三角形雖然有無(wú)窮多個(gè)，但它們都是彼此相似的.如上圖，當(dāng) 確定時(shí)，包含 的直角三角形有無(wú)窮多個(gè)，但它們彼此相似：
∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，所以這些三角形的對(duì)應(yīng)邊的比都是相等的.
這就是說(shuō)，每當(dāng)一個(gè)銳角確定了，包含這個(gè)角的直角三角形的上述2種比值也就唯一確定了，它們有確定不變的對(duì)應(yīng)關(guān)系.為了簡(jiǎn)單地表達(dá)這些對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們引入了正（余）弦的說(shuō)法，創(chuàng)造了sin 和cos這樣的符號(hào).
應(yīng)當(dāng)注意：?jiǎn)为?dú)寫出三角函數(shù)的符號(hào) 或cos等是沒(méi)有意義的.因?yàn)樗鼈冸x開(kāi)了確定的銳角是無(wú)法顯示出它的含義；另一方面，這些符號(hào)和角寫在一起時(shí)（如 ），它表示的就不再是角，而是一個(gè)特定的三角形的兩條邊的比值了（如 ）.真正理解并掌握這些，才真正掌握了這些符號(hào)的含義，才能正確地運(yùn)用它們.
4． 我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)任何位置的直角三角形中的一個(gè)銳角的正弦、余弦的表達(dá)式.
我們不僅應(yīng)當(dāng)熟練掌握如圖那樣的標(biāo)準(zhǔn)位置的直角三角形的正弦、余弦的表達(dá)式，而且能熟練地寫出無(wú)論怎樣放置的直角三角形的正弦、余弦的表達(dá)式.如， 如圖所示，若 ，則有
有的直角三角形隱藏在更復(fù)雜的圖形中，我們也應(yīng)能正確地寫出所需要的三角函數(shù)表達(dá)式，如圖中，ABCD是梯形， ，作 ， 我們應(yīng)正確地寫出如下的三角函數(shù)關(guān)系式：
很顯然，這些表達(dá)式提供給我們豐富的邊與角間的數(shù)量關(guān)系.
5．特殊角的正弦、余弦值既容易導(dǎo)出，也便于記憶，應(yīng)當(dāng)熟悉掌握它們.
利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三邊的比；如圖（1）和圖（2）所示.
根據(jù)定義，有
另一方面，可以想像，當(dāng) 時(shí)，邊 與AC重合（即 ），所以
當(dāng) 時(shí)，邊AB與CB重合（即AB=CB），AC的長(zhǎng)縮小為0，于是，有
把以上結(jié)果可以集中列出下面的表：
0
1
1
0
6．教法建議：
�。�1）聯(lián)系實(shí)際，提出問(wèn)題
通過(guò)修建揚(yáng)水站時(shí)，要沿斜坡鋪設(shè)水管而提出要求水管最頂端離地面高度的問(wèn)題，第一步把這問(wèn)題歸結(jié)于直角三角形中，第二步，再把這個(gè)問(wèn)題歸于直角三角形中，已知一個(gè)銳角和斜邊的長(zhǎng)，求這個(gè)銳角所對(duì)直角邊的一個(gè)幾何問(wèn)題．同時(shí)指出在這種情況下，用已學(xué)過(guò)的勾股定理是解決不了的．激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生探索新途徑，迫切需要學(xué)習(xí)新知識(shí)的積極性．在這章的第一節(jié)課，應(yīng)抓住這個(gè)具有教育性，富于啟發(fā)性的有利開(kāi)端，為引進(jìn)本章的重要內(nèi)容：銳角三角函數(shù)作了十分必要的準(zhǔn)備．
(2) 動(dòng)手度量、總結(jié)規(guī)律、給出定義以含 的三角板為例讓學(xué)生對(duì)大小不同的三角板進(jìn)行度量，并引導(dǎo)學(xué)生得出規(guī)律： ，再進(jìn)一步對(duì)含 的三角板進(jìn)行度量，在探索同樣的內(nèi)容時(shí)，要用到勾股定理，又類似地得到，所有的這種等腰直角三角形中，都會(huì)得到 ,這時(shí)，應(yīng)當(dāng)即給出 的正弦的定義及符號(hào)，即 ，再對(duì)照?qǐng)D形，分別用a、b、c表示 、 、 的對(duì)邊，得出 及 ， 就這樣非常簡(jiǎn)潔地得到銳角三角函數(shù)的第一個(gè)定義，應(yīng)充分利用課本中這種簡(jiǎn)練的處理手段，使學(xué)生建立起銳角三角函數(shù)的概念.
(3)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)
“解直角三角形”編在幾何教材中，突出了它的幾何特點(diǎn)，但這只是從知識(shí)的系統(tǒng)性方面講的，使它與幾何前后知識(shí)可關(guān)系更緊密，便于學(xué)生理解和掌握，并沒(méi)有改變它形數(shù)結(jié)合的本質(zhì)，因此教學(xué)中要充分利用這部分教材，幫助學(xué)生掌握用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的方法，提高在幾何問(wèn)題中注意運(yùn)用代數(shù)知識(shí)的能力．
第一課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1. 使學(xué)生知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實(shí)。
2.逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力。
3.引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
二、學(xué)法引導(dǎo)
1．教學(xué)方法：引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和探索研究相結(jié)合，嘗試成功教法。
2．學(xué)生學(xué)法：在教師的指導(dǎo)下，積極思維，相互討論，動(dòng)手感知，探索新知。
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法
1．重點(diǎn)：使學(xué)生知道當(dāng)銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實(shí)。
2．難點(diǎn)：學(xué)生很難想到對(duì)任意銳角，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實(shí)，關(guān)鍵在于教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，得出結(jié)論。
3．疑點(diǎn)：無(wú)論直角三角形的銳角為何值，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的。
4．解決辦法：教師引導(dǎo)學(xué)生比較、分析、討論，解決重難點(diǎn)和疑點(diǎn)。
四、教具準(zhǔn)備
自制投影片，一副三角板
五、教學(xué)步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
1．如圖，長(zhǎng)5米的梯子架在高為3米的墻上，則 、 間距離為多少米？
2．長(zhǎng)5米的梯子以傾斜角 為30°靠在墻上，則 、 間的距離為多少？
3．若長(zhǎng)5米的梯子以傾斜角40°架在墻上，則 、 間距離為多少？
4．若長(zhǎng)5米的梯子靠在墻上，使 、 間距離為2米，則傾斜角為多少度？
前兩個(gè)問(wèn)題學(xué)生很容易回答，這兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)主要是引起學(xué)生的回憶，并使學(xué)生意識(shí)到，本章要用到這些知識(shí)，但后兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)卻使學(xué)生感到疑惑，這對(duì)初三年級(jí)這些好奇、好勝的學(xué)生來(lái)說(shuō)，起到激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的作用，同時(shí)使學(xué)生對(duì)本章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容的特點(diǎn)有一個(gè)初步的了解，有些問(wèn)題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識(shí)是不能解決的，解決這類問(wèn)題，關(guān)鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個(gè)未知銳角，只要做到這一點(diǎn)，有關(guān)直角三角形的其他未知邊角就可用學(xué)過(guò)的知識(shí)全部求出來(lái)。
通過(guò)四個(gè)例子引出課題。
�。ǘ┱w感知
1．請(qǐng)每一位同學(xué)拿出自己的三角板，分別測(cè)量并計(jì)算30°、45°、60°角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值。
學(xué)生很快便會(huì)回答結(jié)果：無(wú)論三角尺大小如何，其比值是一個(gè)固定的值，程度較好的學(xué)生還會(huì)想到，以后在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長(zhǎng)，就可求出其他未知邊的長(zhǎng)。
2．請(qǐng)同學(xué)畫一個(gè)含40°角的直角三角形，并測(cè)量、計(jì)算40°角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值，學(xué)生又高興地發(fā)現(xiàn)，不論三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分學(xué)生可能會(huì)想到，當(dāng)銳角取其他固定值時(shí)，其對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎？
這樣做，在培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力的同時(shí)，也使學(xué)生對(duì)本節(jié)課要研究的知識(shí)有了整體感知，喚起學(xué)生的求知欲，大膽地探索新知。
�。ㄈ�教學(xué)過(guò)程（www.gymyzhishaji.com）
1．通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)猜想到“無(wú)論直角三角形的銳角為何值，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”，但是怎樣證明這個(gè)命題呢？學(xué)生這時(shí)的思維很活躍，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，部分學(xué)生可能能解決它，因此教師此時(shí)應(yīng)讓學(xué)生展開(kāi)討論，獨(dú)立完成。
2．學(xué)生經(jīng)過(guò)研究，也許能解決這個(gè)問(wèn)題．若不能解決，教師可適當(dāng)引導(dǎo)：
若一組直角三角形有一個(gè)銳角相等，可以把其頂點(diǎn) ， ， 重合在一起，記作 ，并使直角邊 ， ， ……落在同一條直線上，則斜邊 ， ， ……落在另一條直線上，這樣同學(xué)們能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立證明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在這些直角三角形中， 的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個(gè)固定值。
通過(guò)引導(dǎo)，使學(xué)生自己獨(dú)立掌握了重點(diǎn)，達(dá)到知識(shí)教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生能力，進(jìn)行了德育滲透。
而前面導(dǎo)課中動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，實(shí)際上為突破難點(diǎn)而設(shè)計(jì)。這一設(shè)計(jì)同時(shí)起到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的作用。
3．練習(xí)：教科書P3練習(xí)。此題為 作了孕伏，同時(shí)使學(xué)生知道任意銳角的對(duì)邊與斜邊的比值都能求出來(lái)。
�。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴(kuò)展
1．引導(dǎo)學(xué)生作知識(shí)總結(jié)：本節(jié)課在復(fù)習(xí)勾股定理及含30°角直角三角形的性質(zhì)基礎(chǔ)上，通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、證明，我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的。
教師可適當(dāng)補(bǔ)充：本節(jié)課經(jīng)過(guò)同學(xué)們自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，大膽猜測(cè)和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的結(jié)論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚(yáng)這種創(chuàng)新精神，變被動(dòng)學(xué)知識(shí)為主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識(shí)。
2．?dāng)U展：當(dāng)銳角為30°時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊比值我們知道，今天我們又發(fā)現(xiàn)，銳角任意時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值也是固定的，如果知道這個(gè)比值，已知一邊求其他未知邊的問(wèn)題就迎刃而解了，看來(lái)這個(gè)比值很重要，下節(jié)課我們就著重研究這個(gè)“比值”，有興趣的同學(xué)可以提前預(yù)習(xí)一下，通過(guò)這種擴(kuò)展，不僅對(duì)下、余弦概念有了初步印象，同時(shí)又激發(fā)了學(xué)生的興趣。
六、布置作業(yè)
本節(jié)課內(nèi)容較少，而且是為正、余弦概念打基礎(chǔ)的，因此課后應(yīng)要求學(xué)生預(yù)習(xí)正余弦概念。
七、板書設(shè)計(jì)
第二課時(shí)
一、教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生初步了解正弦、余弦概念；能夠較正確地用 、 表示直角三角形中兩邊的比；熟記特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根據(jù)這些值說(shuō)出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù).
2．逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括的思維能力.
3．滲透教學(xué)內(nèi)容中普遍存在的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn).
二、學(xué)法引導(dǎo)
1．教學(xué)方法：指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)探索法.
2．學(xué)生學(xué)法：自主、合作、探究式學(xué)習(xí).
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法
1．教學(xué)重點(diǎn)：使學(xué)生了解正弦、余弦概念.
2．教學(xué)難點(diǎn)：用含有幾個(gè)字母的符號(hào)組 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.
3．疑點(diǎn)：銳角的正弦、余弦值的范圍.
4．解決辦法：通過(guò)舊知?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，采用從特殊到一般的方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，從而解決重難點(diǎn)及疑點(diǎn).
四、教具準(zhǔn)備
三角板一副
五、教學(xué)步驟
（一）明確目標(biāo)
1．引導(dǎo)學(xué)生回憶“直角三角形銳角固定時(shí)，它的對(duì)與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.”
2．明確目標(biāo)：這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值—正弦和余弦.
�。ǘ┱w感知
當(dāng)直角三角形有一銳角為30°時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值為 ，只要知道三角形任一邊長(zhǎng)，其他兩邊就可知.
而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對(duì)邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定，這樣只要能求出這個(gè)比值，那么求直角三角形未知邊的問(wèn)題也就迎刃而解了.
通過(guò)與“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”相類比，學(xué)生自然產(chǎn)生想學(xué)習(xí)的欲望，產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)對(duì)以下要研究的內(nèi)容有了大體印象.
�。ㄈ�教學(xué)過(guò)程（www.gymyzhishaji.com）
正弦、余弦的要領(lǐng)是全章知識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與工作都十分重要，因此確定它為本課重點(diǎn)，同時(shí)正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)思想，又用含幾個(gè)字母的符號(hào)組來(lái)表示，因此概念也是難點(diǎn).
在上節(jié)課研究的基礎(chǔ)上，引入正、余弦，“把對(duì)邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余弦”.如圖
請(qǐng)學(xué)生結(jié)合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養(yǎng)學(xué)生概括能力及語(yǔ)言表達(dá)能力，教師板書：在 中， 為直角，我們把銳角 的對(duì)邊與余邊的比叫做 的正弦，記作 ，銳角 的鄰邊與斜邊的比叫做 的余弦，記作 .
.
若把 的對(duì)邊 記作 ，鄰邊 記作 ，斜邊 記作 ，則 ， .
引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng) 為銳角時(shí)， 、 的值會(huì)在什么范圍內(nèi)？得結(jié)論 ， （ 為銳角），這個(gè)問(wèn)題對(duì)于較差學(xué)生來(lái)說(shuō)有些難度，應(yīng)給學(xué)生充分思考時(shí)間，同時(shí)這個(gè)問(wèn)題也使學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來(lái).
教材例1的設(shè)置是為了鞏固正弦概念，通過(guò)教師示范，使學(xué)生會(huì)求正弦，這里不妨增問(wèn)“ 、 ”，經(jīng)過(guò)反復(fù)強(qiáng)化，使全體學(xué)生都達(dá)到目標(biāo)，更加突出重點(diǎn).
【例1】求出如下圖所示的 中的 、 和 、 的值.
解：（1）∵斜邊 ，
∴ ， ．
， ．
�。�2） ， ．
，
∴ ， ．
學(xué)生練習(xí)教材P6～7中1、2、3題．
讓每個(gè)學(xué)生畫含30°、45°的直角三角形，分別求 、 、 和 、 、 .這一練習(xí)既用到以前的知識(shí)，又鞏固正弦、余弦的概念，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)親自動(dòng)筆計(jì)算后，對(duì)特殊角三角函數(shù)值印象很深刻.
， ， ．
， ， ．
【例2】求下列各式的值：
�。�1） ；（2） ．
解：（1） ．
�。�2） ．
這了使學(xué)生熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，這里還應(yīng)安排六個(gè)小題：
�。�1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
�。�5）若 ，則銳角 .
�。�6）若 ，則銳角 .
在確定每個(gè)學(xué)生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后，引導(dǎo)學(xué)生思考，“請(qǐng)大家觀察特殊角的正弦和余弦值，猜測(cè)一下， 大概在什么范圍內(nèi)， 呢？”這樣的引導(dǎo)不僅培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、注意力，而且培養(yǎng)學(xué)生勇于思考、大膽創(chuàng)新的精神，還可以進(jìn)一步請(qǐng)成績(jī)較好的同學(xué)用語(yǔ)言來(lái)敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
首先請(qǐng)學(xué)生作小結(jié)，教師適當(dāng)補(bǔ)充，“主要研究了銳角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值，知道任意銳角A的正、余弦值都在0～1之間，即
， （ 為銳角）．
還發(fā)現(xiàn) 的兩銳角 、 ， ， ，正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小”.
六、布置作業(yè)
教材P10中2，3.
預(yù)習(xí)下一課內(nèi)容.
補(bǔ)充：（1）若 ，則銳角 ．
�。�2）若 ，則銳角 ．
七、板書設(shè)計(jì)
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