數(shù)學(xué)教案－圓周角

第一課時(shí) 圓周角（一）

　　教學(xué)目標(biāo)：

　�。�1）理解圓周角的概念,掌握?qǐng)A周角的兩個(gè)特征、定理的內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用；

　�。�2）繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力；

　�。�3）滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法．

　　教學(xué)重點(diǎn)：圓周角的概念和圓周角定理

　　教學(xué)難點(diǎn)：圓周角定理的證明中由“一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法和完全歸納法的數(shù)學(xué)思想．

　　教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：（在教師指導(dǎo)下完成）

 

　�。ㄒ唬﹫A周角的概念

　　1、復(fù)習(xí)提問(wèn)：

　　（1）什么是圓心角？

　　答：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

　�。�2）圓心角的度數(shù)定理是什么？

　　答：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).（如右圖）

　　2、引題圓周角：

　　如果頂點(diǎn)不在圓心而在圓上，則得到如左圖的新的角∠ACB，它就是圓周角.（如右圖）（演示圖形，提出圓周角的定義）

　　定義：頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角

　　3、概念辨析：

　　教材P93中1題：判斷下列各圖形中的是不是圓周角，并說(shuō)明理由．

 

　　學(xué)生歸納：一個(gè)角是圓周角的條件：①頂點(diǎn)在圓上；②兩邊都和圓相交.

　�。ǘ�）圓周角的定理

 

　　1、提出圓周角的度數(shù)問(wèn)題

　　問(wèn)題：圓周角的度數(shù)與什么有關(guān)系？

　　經(jīng)過(guò)電腦演示圖形，讓學(xué)生觀察圖形、分析圓周角與圓心角，猜想它們有無(wú)關(guān)系．引導(dǎo)學(xué)生在建立關(guān)系時(shí)注意弧所對(duì)的圓周角的三種情況：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角內(nèi)部、圓心在圓周角外部．

　�。ㄔ诮處熞龑�(dǎo)下完成）

　�。�1）當(dāng)圓心在圓周角的一邊上時(shí)，圓周角與相應(yīng)的圓心角的關(guān)系：（演示圖形）觀察得知圓心在圓周角上時(shí)，圓周角是圓心角的一半.

　　提出必須用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法去證明.

　　證明:(圓心在圓周角上)

　　 （2）其它情況，圓周角與相應(yīng)圓心角的關(guān)系：

　　當(dāng)圓心在圓周角外部時(shí)（或在圓周角內(nèi)部時(shí)）引導(dǎo)學(xué)生作輔助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心在圓周角一邊上的情況，從而運(yùn)用前面的結(jié)論，得出這時(shí)圓周角仍然等于相應(yīng)的圓心角的結(jié)論.

　　證明：作出過(guò)C的直徑（略）

　　圓周角定理: 一條弧所對(duì)的

　　周角等于它所對(duì)圓心角的一半.

　　說(shuō)明：這個(gè)定理的證明我們分成三種情況.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的分類方法；在證明中，后兩種都化成了第一種情況，這體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的化歸思想.（對(duì)A層學(xué)生滲透完全歸納法）

　　（三）定理的應(yīng)用

　　1、例題: 如圖   OA、OB、OC都是圓O的半徑， ∠AOB=2∠BOC．

　　求證：∠ACB=2∠BAC

　　讓學(xué)生自主分析、解得，教師規(guī)范推理過(guò)程．

　　

　　說(shuō)明：①推理要嚴(yán)密；②符號(hào)“”應(yīng)用要嚴(yán)格，教師要講清．

　　2、鞏固練習(xí):

　�。�1）如圖，已知圓心角∠AOB=100°，求圓周角∠ACB、∠ADB的度數(shù)？

　�。�2）一條弦分圓為1：4兩部分，求這弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)？

　　說(shuō)明：一條弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)多個(gè)，卻這條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)只有一個(gè)，但一條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)．

　　（四）總結(jié)

　　知識(shí)：（1）圓周角定義及其兩個(gè)特征；（2）圓周角定理的內(nèi)容．

　　思想方法：一種方法和一種思想：

　　在證明中，運(yùn)用了數(shù)學(xué)中的分類方法和“化歸”思想．分類時(shí)應(yīng)作到不重不漏；化歸思想是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一系列的簡(jiǎn)單問(wèn)題或已證問(wèn)題．

　�。ㄎ澹┳鳂I(yè) 教材P100中 習(xí)題A組6,7,8

第二、三課時(shí) 圓周角（二、三）

　　教學(xué)目標(biāo)：

　�。�1）掌握?qǐng)A周角定理的三個(gè)推論，并會(huì)熟練運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明；

　　（2）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及解決問(wèn)題的能力及邏輯推理能力；

　�。�3）培養(yǎng)添加輔助線的能力和思維的廣闊性．

　　教學(xué)重點(diǎn)：圓周角定理的三個(gè)推論的應(yīng)用．

　　教學(xué)難點(diǎn)：三個(gè)推論的靈活應(yīng)用以及輔助線的添加．

　　教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

 

　　（一）創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境

　　問(wèn)題1：畫(huà)一個(gè)圓，以B、C為弧的端點(diǎn)能畫(huà)多少個(gè)圓周角？它們有什么關(guān)系？

 

　　問(wèn)題2：在⊙O中，若 = ，能否得到∠C=∠G呢？根據(jù)什么？反過(guò)來(lái)，若土∠C=∠G ，是否得到 = 呢？

　　（二）分析、研究、交流、歸納

　　讓學(xué)生分析、研究，并充分交流．

　　注意：①問(wèn)題解決，只要構(gòu)造圓心角進(jìn)行過(guò)渡即可；②若 = ，則∠C=∠G；但反之不成立．

　　老師組織學(xué)生歸納：

　　推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．

　　重視：同弧說(shuō)明是“同一個(gè)圓”； 等弧說(shuō)明是“在同圓或等圓中”．

　　問(wèn)題： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所對(duì)的圓周角一定相等嗎？（學(xué)生通過(guò)交流獲得知識(shí)）

　　問(wèn)題3：（1）一個(gè)特殊的圓弧——半圓，它所對(duì)的圓周角是什么樣的角？

　　（2）如果一條弧所對(duì)的圓周角是90°，那么這條弧所對(duì)的圓心角是什么樣的角?

　　學(xué)生通過(guò)以上兩個(gè)問(wèn)題的解決，在教師引導(dǎo)下得推論2：

　　推論2： 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦直徑．

　　指出：這個(gè)推論是圓中一個(gè)很重要的性質(zhì)，為在圓中確定直角、成垂直關(guān)系創(chuàng)造了條件，要熟練掌握．

　　啟發(fā)學(xué)生根據(jù)推論2推出推論3：

　　推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角是直角三角形．

　　指出：推論3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．

　　 （三）應(yīng)用、反思

　　例1、如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑．

　　求證：AB·AC＝AE·AD．

　　對(duì)A層同學(xué)，讓學(xué)生自主地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)行生生交流，師生交流；其他層次的學(xué)生在教師引導(dǎo)下完成．

　　交流：①分析解題思路；②作輔助線的方法；③解題推理過(guò)程（要規(guī)范）．

 

　　 解（略）

　　教師引導(dǎo)學(xué)生思考：（1）此題還有其它證法嗎? （2）比較以上證法的優(yōu)缺點(diǎn)．

　　指出：在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑上的圓周角，以便利用直徑上的圓周角是直角的性質(zhì)．

　　變式練習(xí)1：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠1=∠2．

　　求證：AB·AC＝AE·AD．

　　變式練習(xí)2：如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，弦AE平分
∠BAC交BC于D．

　　求證：AB·AC＝AE·AD．

　　指出：這組題目比較典型，圓和相似三角形有密切聯(lián)系，證明圓中某些線段成比例，常常需要找出或通過(guò)輔助線構(gòu)造出相似三角形．

　　 例2：如圖，已知在⊙O中，直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D；

　　求BC，AD和BD的長(zhǎng)．

　　解：(略)

　　說(shuō)明：充分利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，解直角三角形．

　　練習(xí)：教材P96中1、2

　�。ㄋ模┬〗Y(jié)（指導(dǎo)學(xué)生共同小結(jié)）

　　知識(shí)：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了圓周角定理的三個(gè)推論．這三個(gè)推論各具特色，作用各異，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)熟練掌握．

　　能力：在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角或構(gòu)成相似三角形，這種基本技能技巧一定要掌握．

　�。ㄎ澹┳鳂I(yè)

　　教材P100．習(xí)題A組9、10、12、13、14題；另外A層同學(xué)做P102B組3，4題．

探究活動(dòng)

　　我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半”，但當(dāng)角的頂點(diǎn)在圓外（如圖①稱圓外角）或在圓內(nèi)（如圖②稱圓內(nèi)角），它的度數(shù)又和什么有關(guān)呢？請(qǐng)?zhí)骄浚?/p>

 

　　提示：（1）連結(jié)BC，可得∠E= （ 的度數(shù)— 的度數(shù)）

　�。�2）延長(zhǎng)AE、CE分別交圓于B、D，則∠B= 的度數(shù)，

　　∠C= 的度數(shù)，

　　∴∠AEC=∠B+∠C= （ 的度數(shù)+ 的度數(shù)）．

 　　

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