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數(shù)學教案－切線的判定和性質(zhì)
切線的判定和性質(zhì)（一）
教學目標：
1、使學生深刻理解切線的判定定理，并能初步運用它解決有關問題；
2、通過判定定理和切線判定方法的學習，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納問題的能力；
3、通過學生自己實踐發(fā)現(xiàn)定理，培養(yǎng)學生學習的主動性和積極性．
教學重點：切線的判定定理和切線判定的方法；
教學難點：切線判定定理中所闡述的由位置來判定直線是圓的切線的兩大要素：一是經(jīng)過半徑外端；二是直線垂直于這條半徑；學生開始時掌握不好并極容易忽視．
教學過程（www.gymyzhishaji.com）設計
�。ㄒ唬⿵土暋l(fā)現(xiàn)問題
1．直線與圓的三種位置關系
在圖中，圖(1)、圖(2)、圖(3)中的直線l和⊙O是什么關系?
２、觀察、提出問題、分析發(fā)現(xiàn)（教師引導）
圖(2)中直線l是⊙O的切線，怎樣判定？根據(jù)切線的定義可以判定一條直線是不是圓的切線，但有時使用定義判定很不方便．我們從另一個側(cè)面去觀察，那就是直線和圓的位置怎樣時，直線也是圓的切線呢?
如圖，直線l到圓心O的距離OA等于圓O的半徑，直線l是⊙O的切線．這時我們來觀察直線l與⊙O的位置．
發(fā)現(xiàn)：(1)直線l經(jīng)過半徑OC的外端點C；(2)直線l垂直于半徑0C．這樣我們就得到了從位置上來判定直線是圓的切線的方法——切線的判定定理．
�。ǘ┣芯�的判定定理：
1、切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
2、對定理的理解：
引導學生理解：①經(jīng)過半徑外端；②垂直于這條半徑．
請學生思考：定理中的兩個條件缺少一個行不行?定理中的兩個條件缺一不可．
圖(1)中直線了l經(jīng)過半徑外端，但不與半徑垂直；圖(2)（3）中直線l與半徑垂直，但不經(jīng)過半徑外端．
從以上兩個反例可以看出，只滿足其中一個條件的直線不是圓的切線．
（三）切線的判定方法
教師組織學生歸納．切線的判定方法有三種：
�、僦本�與圓有唯一公共點；②直線到圓心的距離等于該圓的半徑；③切線的判定定理．
�。ㄋ模⿷枚ɡ�，強化訓練
例1已知：直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA＝CB．
求證：直線AB是⊙O的切線．
分析：欲證AB是⊙O的切線．由于AB過圓上點C，若連結OC，則AB過半徑OC的外端，只需證明OC⊥OB。
證明：連結0C
∵0A＝0B，CA＝CB，”
∴0C是等腰三角形0AB底邊AB上的中線．
∴AB⊥OC．
直線AB經(jīng)過半徑0C的外端C，并且垂直于半徑0C，所以AB是⊙O的切線．
練習1判斷下列命題是否正確．
(1)經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線．
(2)垂直于半徑的直線是圓的切線．
(3)過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．
(4)和圓有一個公共點的直線是圓的切線．
(5)以等腰三角形的頂點為圓心，底邊上的高為半徑的圓與底邊相切．
采取學生搶答的形式進行，并要求說明理由，
練習P106，1、2
目的：使學生初步會應用切線的判定定理，對定理加深理解）
�。ㄎ澹┬〗Y
1、知識：切線的判定定理．著重分析了定理成立的條件，在應用定理時，注重兩個條件缺一不可．
2、方法：判定一條直線是圓的切線的三種方法：
(1)根據(jù)切線定義判定．即與圓有唯一公共點的直線是圓的切線。
(2)根據(jù)圓心到直線的距離來判定，即與圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線．
(3)根據(jù)切線的判定定理來判定．
其中(2)和(3)本質(zhì)相同，只是表達形式不同．解題時，靈活選用其中之一．
3、能力：初步會應用切線的判定定理．
（六）作業(yè)P115中2、4、5；P117中B組1．
切線的判定和性質(zhì)（二）
教學目標：
1、使學生理解切線的性質(zhì)定理及推論；
2、通過對圓的切線位置關系的觀察，培養(yǎng)學生能從幾何圖形的直觀位置歸納出幾何性質(zhì)的能力；
教學重點：切線的性質(zhì)定理和推論1、推論2．
教學難點：利用“反證法”來證明切線的性質(zhì)定理．
教學設計：
（一）基本性質(zhì)
1、觀察：（組織學生，使學生從感性認識到理性認識）
2、歸納：（引導學生完成）
(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；
猜想：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．
引導學生應用“反證法”證明．分三步：
(1)假設切線AT不垂直于過切點的半徑OA，
(2)同時作一條AT的垂線OM．通過證明得到矛盾，OM＜OA這條半徑．則有直線和圓的位置關系中的數(shù)量關系，得AT和⊙O相交與題設相矛盾．
(3)承認所要的結論AT⊥AO．
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．
指出：定理中題設和結論中涉及到的三個要點：切線、切點、垂直．
引導學生發(fā)現(xiàn)：
推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點．
推論2：經(jīng)過切點且垂于切線的直線必經(jīng)過圓心．
引導學生分析性質(zhì)定理及兩個推論的條件和結論問的關系，總結出如下結論：
如果一條直線具備下列三個條件中的任意兩個，就可推出第三個．
(1)垂直于切線；
(2)過切點；
(3)過圓心．
(二)歸納切線的性質(zhì)
(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）
(3)切線垂直于過切點的半徑；（切線的性質(zhì)定理）
(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；（推論1）
(5)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心．（推論2）
（三）應用舉例，強化訓練．
例1、如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D．
求證：AC平分∠DAB．
引導學生分析：條件CD是⊙O的切線，可得什么結論；由AD⊥CD，又可得什么．
證明：連結OC．
∴AC平分∠DAB．
例2、求證：如果圓的兩條切線互相平行，則連結兩個切點的線段是直徑。
已知：AB、CD是⊙O的兩條切線，E、F為切點,且AB∥CD
求證：連結E、F的線段是直徑。
證明：連結EO并延長
∵AB切⊙O于E，∴OE⊥AB，
∵AB∥CD，∴OE⊥CD．
∵CD是⊙O切線，F(xiàn)為切點，∴OE必過切點F
∴EF為⊙O直徑
強化訓練：P109，1
3、求證：經(jīng)過直徑兩端點的切線互相平行。
已知：AB為⊙O直徑，MN、CD為⊙O切線，切點為A、B
求證：MN∥CD
證明：∵MN切⊙O于A，AB為⊙O直徑
∴MN⊥AB
∵CD切⊙O于B，B為半徑外端
∴CD⊥AB，
∴MN∥CD．
（四）小結
1、知識：切線的性質(zhì)：
(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）
(3)切線垂直于過切點的半徑；（切線的性質(zhì)定理）
(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；（推論1）
(5)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心．（推論2）
2、能力和方法：
凡是題目中給出切線的切點，往往“連結”過切點的半徑．從而運用切線的性質(zhì)定理，產(chǎn)生垂直的位置關系．
�。ㄎ澹┳鳂I(yè)教材P109練習2；教材P116中7．
切線的判定和性質(zhì)（三）
教學目標：
1、使學生學能靈活運用切線的判定方法和切線的性質(zhì)證明問題；
2、掌握運用切線的性質(zhì)和切線的判定的有關問題中輔助線引法的基本規(guī)律；
3、通過對切線的綜合型例題分析和論證，激發(fā)學生的思維．
教學重點：對切線的判定方法及其性質(zhì)的準確、熟煉、靈活地運用．
教學難點：綜合型例題分析和論證的思維過程．
教學設計：
�。ㄒ唬⿵土暸c歸納
1、切線的判定
切線的判定方法有三種：
�、僦本�與圓有唯一公共點；
�、谥本�到圓心的距離等于該圓的半徑；
�、矍芯�的判定定理．即經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
2、切線的性質(zhì)：
(1)切線和圓有唯一公共點；（切線的定義）
(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑；（判定方法(2)的逆命題）
(3)切線垂直于過切點的半徑；（切線的性質(zhì)定理）
(4)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；（推論1）
(5)經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心．（推論2）
(二)靈活應用
例1（P108例3）、已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD．求證：DC是⊙O的切線．
證明：連結OD．
∵OA=OD，∴∠1=∠2，
∵AD∥OC，∴∠1=∠3、∠2=∠4
∴∠3=∠4
在△OBC和△ODC中，
OB=OD，∠3=∠4，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC=∠ODC．
∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切線．
例2（P110例4）、如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB和CD相等，且AB與小圓相切于點E，求證：CD與小圓相切．
證明：連結OE，過O作OF⊥CD，垂足為F．
∵AB與小圓O切于點點E，∴OE⊥AB．
又∵AB=CD，
∴OF=OE，又OF⊥CD，
∴CD與小圓O相切．
學生歸納：（1）證明切線的兩個常見方法（①連半徑證垂直；②作垂直證半徑．）；
�。�2）“連結”過切點的半徑，產(chǎn)生垂直的位置關系．
例3、已知：AB是半⊙O直徑，CD⊥AB于D，EC是切線，E為切點
求證：CE=CF
證明：連結OE
∵BE=BO∴∠3=∠B
∵CE切⊙O于E
∴OE⊥CE∠2+∠3=90°
∵CD⊥AB∴∠4+∠B=90°
∴∠2=∠4
∵∠1=∠4∴∠1=∠2
∴CE=CF
以上例題讓學生自主分析、論證，教師指導書寫規(guī)范，觀察學生推理的嚴密性和學生共同存在的問題，及時解決．
鞏固練習：P111練習1、2．
（三）小結：
1、知識：（指導學生歸納）切線的判定方法和切線的性質(zhì)
2、能力：①靈活運用切線的判定方法和切線的性質(zhì)證明問題；②作輔助線的能力和技巧．
（四）作業(yè)：教材P115，1（1）、2、3．
探究活動
問題：（北京西城區(qū)，2002）已知：AB為⊙O的直徑，P為AB延長線上的一個動點，過點P作⊙O的切線，設切點為C．
(1)當點P在AB延長線上的位置如圖1所示時，連結AC，作∠APC的平分線，交AC于點D，請你測量出∠CDP的度數(shù)；
(2)當點P在AB延長線上的位置如圖2和圖3所示時，連結AC，請你分別在這兩個圖中用尺規(guī)作∠APC的平分線(不寫做法，保留作固痕跡)，設此角平分線交AC于點D，然后在這兩個圖中分別測量出∠CDP的度數(shù)；
猜想：∠CDP的度數(shù)是否隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化?請對稱的猜想加以證明．
解：(1) 測量結果：
(2)圖2中的測量結果：
圖3中的測量結果：
猜想：
證明：
解：(1) 測量結果：∠CDP=45°．
(2)圖2中的測量結果：∠CDP=45°．
圖3中的測量結果：∠CDP=45°．
猜想：∠CDP=45°，不隨點P在AB延長線上的位置的變化而變化．
證明：連結OC．
∵PC切⊙O于點C，
∴PC⊥OC，
∴∠1+∠CPO=90°，
∵PC平分∠APC，
∴∠2=1/2∠CPO．
∵OA=OC
∴∠A=∠3．
∴∠1=∠A+∠3，
∴∠A=1/2∠1．
∴∠CDP=∠A+∠2=1/2（∠1+∠CPO）=45°．
∴猜想正確．
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