角的平分線 —— 初中數(shù)學第四冊教案

3．9角的平分線

教學目標

1．掌握角的平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的內(nèi)容、證明及應用．

2．理解原命題和逆命題的概念和關(guān)系，會找一個簡單命題的逆命題．

3．滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

教學重點和難點

角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的應用是重點．

性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和靈活運用是難點．

教學過程設(shè)計

一、角平分錢的性質(zhì)定理與判定定理的探求與證明

1，復習引入課題．

（1）提問關(guān)于直角三角形全等的判定定理．

（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角

平分線OC．

2．畫圖探索角平分線的性質(zhì)并證明之．

（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一

點P，并分別作出表示Ｐ點到∠AOB兩邊的距離的線段

PD，PE．

（2）這兩個距離的大小之間有什么關(guān)系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理．

（3）引導學生敘述角平分線的性質(zhì)定理（定理1），分析定理的條件、結(jié)論，并根據(jù)相應圖形寫出表達式．

 

3．逆向思維探求角平分線的判定定理．

（1）讓學生將定理1的條件、結(jié)論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理．

（2）教師隨后強調(diào)定理1與定理2的區(qū)別：已知角平分線用性質(zhì)為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2．

（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程．

4．理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合．

（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）．

（2）在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）．

由此得出結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．

二、應用舉例、變式練習

練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E．∴---------（角平分線的性質(zhì)定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如圖3－87（a），     ABC的角平分線BD和CE交于F．

（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

（2）求證：AF平分∠BAC；

（3）求證：三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

（4）怎樣找△ABC內(nèi)到三邊距離相等的點？

（5）若將“兩內(nèi)角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結(jié)論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

說明：

（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質(zhì)定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的．

（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

（3）引導學生對題目的條件進行類比聯(lián)想（第（5）題），觀察結(jié)論如何變化，培養(yǎng)發(fā)散思維能力．

練習2已知△ABC，在△ABC內(nèi)求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等．

練習 3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點 C在∠DAB的平分線上．

 

例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等．

練習4  課本第54頁的練習.

說明：訓練學生將生活語言翻譯成數(shù)學語言的能力．

三、互逆命題，互逆定理的定義及應用

1．互逆命題、互逆定理的定義．

教師引導學生分析角平分線的性質(zhì)，判定定理的題設(shè)、結(jié)論，使學生看到這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子．教師強調(diào)“互逆命題”是兩個命題之間的關(guān)系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題．

2．會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題．

例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）直角三角形的兩銳角互余；

（3）對頂角相等；

（4）全等三角形的對應角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y(tǒng)；

（6）等腰三角形的兩個底角相等；

（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命題、互逆定理的有關(guān)結(jié)論．

例4  判斷下列命題是否正確：

（1）錯誤的命題沒有逆命題；

（2）每個命題都有逆命題；

（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

（5）每一個定理都一定有逆定理．

通過此題使學生理解互逆命題的真假性關(guān)系及互逆定理的定義．

四、師生共同小結(jié)

1．角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件內(nèi)容分別是什么？

2．三角形的角平分線有什么性質(zhì)？怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？

3．怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

五、作業(yè)

課本第55頁第3，5，6，7，8，9題．

課堂教學設(shè)計說明

本教學設(shè)計需2課時完成．

角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規(guī)律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養(yǎng)能力，發(fā)揮學生學習的主動性．

 

3．9角的平分線

教學目標

1．掌握角的平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的內(nèi)容、證明及應用．

2．理解原命題和逆命題的概念和關(guān)系，會找一個簡單命題的逆命題．

3．滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

教學重點和難點

角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的應用是重點．

性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和靈活運用是難點．

教學過程設(shè)計

一、角平分錢的性質(zhì)定理與判定定理的探求與證明

1，復習引入課題．

（1）提問關(guān)于直角三角形全等的判定定理．

（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角

平分線OC．

2．畫圖探索角平分線的性質(zhì)并證明之．

（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一

點P，并分別作出表示Ｐ點到∠AOB兩邊的距離的線段

PD，PE．

（2）這兩個距離的大小之間有什么關(guān)系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理．

（3）引導學生敘述角平分線的性質(zhì)定理（定理1），分析定理的條件、結(jié)論，并根據(jù)相應圖形寫出表達式．

 

3．逆向思維探求角平分線的判定定理．

（1）讓學生將定理1的條件、結(jié)論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理．

（2）教師隨后強調(diào)定理1與定理2的區(qū)別：已知角平分線用性質(zhì)為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2．

（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程．

4．理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合．

（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）．

（2）在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）．

由此得出結(jié)論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．

二、應用舉例、變式練習

練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D

PE⊥OB于E．∴---------（角平分線的性質(zhì)定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）     

例1已知：如圖3－87（a），     ABC的角平分線BD和CE交于F．

（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

（2）求證：AF平分∠BAC；

（3）求證：三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

（4）怎樣找△ABC內(nèi)到三邊距離相等的點？

（5）若將“兩內(nèi)角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結(jié)論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

說明：

（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質(zhì)定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的．

（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

（3）引導學生對題目的條件進行類比聯(lián)想（第（5）題），觀察結(jié)論如何變化，培養(yǎng)發(fā)散思維能力．

練習2已知△ABC，在△ABC內(nèi)求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等．

練習 3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點 C在∠DAB的平分線上．

 

例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等．

練習4  課本第54頁的練習.

說明：訓練學生將生活語言翻譯成數(shù)學語言的能力．

三、互逆命題，互逆定理的定義及應用

1．互逆命題、互逆定理的定義．

教師引導學生分析角平分線的性質(zhì)，判定定理的題設(shè)、結(jié)論，使學生看到這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子．教師強調(diào)“互逆命題”是兩個命題之間的關(guān)系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題．

2．會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題．

例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）直角三角形的兩銳角互余；

（3）對頂角相等；

（4）全等三角形的對應角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y(tǒng)；

（6）等腰三角形的兩個底角相等；

（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命題、互逆定理的有關(guān)結(jié)論．

例4  判斷下列命題是否正確：

（1）錯誤的命題沒有逆命題；

（2）每個命題都有逆命題；

（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

（5）每一個定理都一定有逆定理．

通過此題使學生理解互逆命題的真假性關(guān)系及互逆定理的定義．

四、師生共同小結(jié)

1．角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件內(nèi)容分別是什么？

2．三角形的角平分線有什么性質(zhì)？怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？

3．怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

五、作業(yè)

課本第55頁第3，5，6，7，8，9題．

課堂教學設(shè)計說明

本教學設(shè)計需2課時完成．

角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規(guī)律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養(yǎng)能力，發(fā)揮學生學習的主動性．

 

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