完全平方公式 —— 初中數(shù)學(xué)第三冊教案

 

課題：完全平方公式

一、教材分析：

（一）教材的地位與作用

本節(jié)內(nèi)容主要研究的是完全平方公式的推導(dǎo)和公式在整式乘法中的應(yīng)用。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念、整式的加減法、冪的運(yùn)算和整式的乘法后進(jìn)行學(xué)習(xí)的，其地位和作用主要體現(xiàn)在以下幾方面：

（1）整式是初中代數(shù)研究范圍內(nèi)的一塊重要內(nèi)容，整式的運(yùn)算又是整式中一大主干，乘法公式則是在學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法之后來進(jìn)行學(xué)習(xí)的；一方面是對多項(xiàng)式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)；另一方面，乘法公式的推導(dǎo)是初中代數(shù)中運(yùn)用推理方法進(jìn)行代數(shù)式恒等變形的開端，通過乘法公式的學(xué)習(xí)對簡化某些整式的運(yùn)算、培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識有較大好處。

（2）乘法公式是后續(xù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，不僅對學(xué)生提高運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率有較大作用，更是以后學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也具有培養(yǎng)學(xué)生逐漸養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯推理能力的功能。

（3）公式的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證給學(xué)生體驗(yàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)的基本方法和基本過程提供了很好模式。

 

（二）教學(xué)目標(biāo)的確定

在素質(zhì)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的發(fā)展為本，學(xué)生的能力培養(yǎng)為重，尤其是創(chuàng)新、創(chuàng)造能力，以及培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)等。根據(jù)以上指導(dǎo)思想，同時(shí)參照義務(wù)教育階段《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1、知識目標(biāo)：

理解公式的推導(dǎo)過程，了解公式的幾何背景，會應(yīng)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。

2、能力目標(biāo)：

滲透建模、化歸、換元、數(shù)形結(jié)合等思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力、求簡意識、應(yīng)用意識、解決問題的能力和創(chuàng)新能力。

3、情感目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)，勇于探索的精神和善于觀察，大膽創(chuàng)新的思維品質(zhì)。

 

 

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

完全平方公式和平方差公式一樣是主要的乘法公式，其本質(zhì)是多項(xiàng)式乘法，是學(xué)生今后用于計(jì)算的一種重要依據(jù)，因此，本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)如下：

本節(jié)的重點(diǎn)是體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，理解公式的本質(zhì)，并會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。

本節(jié)的難點(diǎn)是從廣泛意義上理解公式中的字母含義，判明要計(jì)算的代數(shù)式是哪兩數(shù)的和（差）的平方。

二、教學(xué)方法與手段

（一）教學(xué)方法：

針對初一學(xué)生的形象思維大于抽象思維，注意力不能持久等年齡特點(diǎn)，及本節(jié)課實(shí)際，采用自主探索，啟發(fā)引導(dǎo)，合作交流展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、猜測、驗(yàn)證和交流。同時(shí)考慮到學(xué)生的認(rèn)知方式、思維水平和學(xué)習(xí)能力的差異進(jìn)行分層次教學(xué)，讓不同層次的學(xué)生都能主動參與并都能得到充分的發(fā)展。邊啟發(fā)，邊探索邊歸納，突出以學(xué)生為主體的探索性學(xué)習(xí)活動和因材施教原則，教師努力為學(xué)生的探索性學(xué)習(xí)創(chuàng)造知識環(huán)境和氛圍，遵循知識產(chǎn)生過程，從特殊→一般→特殊，將所學(xué)的知識用于實(shí)踐中。

采用小組討論，大組競賽等多種形式激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

 

（二）教學(xué)手段：

利用投影儀輔助教學(xué)，突破教學(xué)難點(diǎn)，公式的推導(dǎo)變成生動、形象、直觀，提高教學(xué)效率。

（三）學(xué)法指導(dǎo)：

    在學(xué)法上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極思維，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，讓每個(gè)學(xué)生都動口、動手、動腦，自己歸納出運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。

三、教材處理

       根據(jù)本節(jié)內(nèi)容特點(diǎn)，本著循序漸進(jìn)的原則，我將以“邊長為(a+b)的正方形面積是多少？”這個(gè)實(shí)際問題引入新課，關(guān)于兩數(shù)和的平方公式通過實(shí)例、推導(dǎo)、驗(yàn)證幾個(gè)步驟完成。關(guān)于兩數(shù)差的平方公式，我將為學(xué)生提供三種不同的思路，由學(xué)生自己選擇學(xué)習(xí)、理解，然后再歸納的方法進(jìn)行，再通過分層次練習(xí)，加以鞏固。

 

 

 

 

 

 

 

四、教學(xué)程序

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

一、 創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

如圖，有一個(gè)邊長為a米的正方形廣場，則這個(gè)廣場的面積是多少？

a

            

 

若在這個(gè)廣場的相鄰兩邊鋪一條寬為10米的道路，則面積是多少？

              a    10

 

 

引導(dǎo)學(xué)生利用圖形分割求面積。

 

另一方面：正方形

10    10a    10²          面積為(a+10)², 所以：

                              (a+10)²=a²+20a+10²

a    a²    10a        

 

 

              a    10

 

b   ab     b²           把10替換為b,

                      (a+b)²=a²+2ab+b²

a    a²    ab          提出課題

 

 

              a    b

 

 

通過較為簡單的幾何圖形面積計(jì)算和較熟悉的整式乖法計(jì)算。引入本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容(a+b)·(a+b)

（根據(jù)初一學(xué)生年齡特點(diǎn)，采用圖形變化來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣）

 

問題是知識、能力的生長點(diǎn)，通過富有實(shí)際意義的問題能激活學(xué)生原有認(rèn)知，促使學(xué)生主動地進(jìn)行探索和思考。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

對公式(a+b)²=a²+2ab+b²的形式進(jìn)行初步認(rèn)識，接觸

 

 

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

二、交流對話，探求新知

1、推導(dǎo)兩數(shù)和的完全平方公式

計(jì)算(a+b)²

解：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²

 

 

2、理解公式特征

①算式：兩數(shù)和的平方

②積：兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)積的2倍

 

 

3、語言敘述

   (a+b)²=a²+2ab+b²用語言如何敘述

 

 

4、公式(a-b)²=a²-2ab+b²教學(xué)

    ①利用多項(xiàng)式乘法 (a-b)²=(a-b)(a-b)

②利用換元思想   (a-b)²=[a+(-b)]²

③利用圖形          

                              b

 a 

                    

                          ^{(a-b)    b}

                           a  

5、學(xué)生總結(jié)、歸納：

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

這兩個(gè)公式叫做完全平方公式，兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)積的2倍。

 

6、公式中的字母含義的理解。（學(xué)生回答）

    (x+2y)²是哪兩個(gè)數(shù)的和的平方？

    (x+2y)²=(   )²+2(   )(   )+(   )²

    (2x-5y)²是哪兩個(gè)數(shù)的差的平方？

(2x+5y)²=(   )²+2(   )(   )+(   )²

變式  (2x-5y)²可以看成是哪兩個(gè)數(shù)的和的平方？

利用多項(xiàng)式乘法推導(dǎo)公式，使學(xué)生了解公式的來源以及理解乘法公式的本質(zhì)。

 

組織學(xué)生小組討論，使學(xué)生明確公式特征，加深對公式表象的理解。

 

 

 

由學(xué)生對公式

(a+b)²=a²+2ab+b²進(jìn)行口頭語言敘述。

 

(1)說明：教師提供三種模式，由學(xué)生選擇一種去解決。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，開闊學(xué)生的思路。(2)同時(shí)對滲透數(shù)形結(jié)合思想、換元思想，也是分散、分步突破本節(jié)的難點(diǎn)的第一個(gè)層次；(3)體會辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)；(4)正確引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)知識的正遷移。

 

使學(xué)生學(xué)會對公式的正確表述，有利于學(xué)生正確用于計(jì)算之中，此時(shí)也可以讓學(xué)生對兩個(gè)公式特點(diǎn)進(jìn)行討論歸納，適當(dāng)總結(jié)一定的口訣：“頭平方，尾平方，兩倍的乘積中間放�！�

 

 

加深學(xué)生對公式中的字母含義的理解，明確字母意義的廣泛性

 

 

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

三、整理新知形成結(jié)構(gòu)

1、完全平方公式并分析公式左右的特征。

2、換元的基本想法

四、應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

1、例1教學(xué)：用完全平方公式計(jì)算

(1)(a+3)²  (2)(y- )²  (3)(-2x+t)²  (4)(-3x-4y)²

學(xué)生直接運(yùn)用公式計(jì)算，教師板演，講評時(shí)邊口述理由,針對第(4)題(-3x-4y)²可以看成是-3x與4y差的平方，也可以看成-3x與-4y和的平方

提出以下問題：

（1）可否看成兩數(shù)和的平方，運(yùn)用兩數(shù)和的平方公式來計(jì)算？

（2）可否看成兩數(shù)差的平方，運(yùn)用兩數(shù)差的平方公式來計(jì)算？

（3）能不能進(jìn)行符號轉(zhuǎn)化？如(-3x-4y)²=(3x+4y)²

  2、公式鞏固

  （1）同桌同學(xué)互相編一道用完全平方公式計(jì)算題目，然后解答。

  （2）下列各式的計(jì)算，錯(cuò)在哪里？應(yīng)怎樣改正？

①(a+b)²=a²+b²   ②(a-b)²=a²-b²

③(a-2b)²=a²+2ab+2b²

 3、練習(xí)：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(學(xué)生板演)

①(a+5)²     ②(3+x)²      ③(y-2)²  ④(7-y)²

⑤(2x+3y)²⑥(-2x-3y)² ⑦(3- )² ⑧(- - )²

 4、例2，運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)101²  (2)98²

 

5、練習(xí)：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算

(1)91²   (2)798²   (3)(10 )²

 

 

6、討論：(1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何計(jì)算

 

五、公式拓展，鼓勵(lì)探究

 1、a²+b²=(a+b)²-______   a²+b²+ _______=(a+b)²

a²+b²+ ________ =(a-b)²

 2、(a+b)²-(a-b)²=______   3、(a+b+c)²=________

 

4、提出思考題：(a+b)³=?  (a+b)⁴=?

5、已知 求 的值。

6、已知： ，求 ， 的值。

6. 已知 ，求x和y的值。

(1)遵循及時(shí)鞏固原則。(2)針對初一學(xué)生注意力不能持久的特點(diǎn)。(3)形成知識網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)公式的運(yùn)用

 

 

 

(1)直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。(2)進(jìn)一步幫助學(xué)生掌握換元法。(3)進(jìn)行符號轉(zhuǎn)化的變換，加深學(xué)生對公式理解的深度，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它知識打好基礎(chǔ)。

 

 

 

 

 

 

對這幾個(gè)式子的辨析目的在于防止學(xué)生對以前學(xué)過的如(ab)²=a²b²的公式的負(fù)遷移作用

講練結(jié)合

 

(1)合作學(xué)習(xí)，四人小組討論（教師逐步引導(dǎo)到運(yùn)用完全平方公式計(jì)算）學(xué)生講自己解題的想法和步驟，培養(yǎng)語言表達(dá)能力。(2)體會公式實(shí)際運(yùn)用作用，增加學(xué)習(xí)興趣

 

進(jìn)一步辨析完全平方公式與平方差公式的區(qū)別

 

公式變形利于各種計(jì)算

 

 

 

提出一個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)習(xí)研究完全平方公式的方法去研究公式的拓展變形問題。如：三項(xiàng)式的平方，兩項(xiàng)式的立方、四次方等，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鉆研精神。

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

六、小結(jié)提高，知識升華

 1、兩個(gè)公式 (a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

 2、兩種推導(dǎo)方法：多項(xiàng)式乘法導(dǎo)出；圖形面積導(dǎo)出

 3、換元法與轉(zhuǎn)化

七、作業(yè)布置，分層落實(shí)

 1、閱讀教材  6.17內(nèi)容

 2、見省編作業(yè)本 6.17

 3、對(a+b)²,(a+b)³ ……的展開式從項(xiàng)數(shù)、系數(shù)方面進(jìn)行研究

由學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)所學(xué)知識、方法等。教師根據(jù)學(xué)生回答情況作出補(bǔ)充。

 

 

 

 

(1)作業(yè)1主要以培養(yǎng)學(xué)習(xí)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的。(2)結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，貫徹面向全體學(xué)生，因材施教原則。作業(yè)2要求全體學(xué)都能完成。作業(yè)3為選做題，部分學(xué)有余力的學(xué)生可選做。在減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)同時(shí)，注重人本思想，以學(xué)生的能力發(fā)展為重。 也能滿足不同層次學(xué)生的不同要求。

 

附：板書設(shè)計(jì)與時(shí)間大致安排

 

屏  幕

課題

公式……例題

學(xué)生板演

 

本課時(shí)的時(shí)間大致安排：

引入課題3分鐘左右，探求新知15分鐘左右，整理新知2分鐘左右，應(yīng)用新知15分鐘左右，公式拓展5分鐘左右，小結(jié)作業(yè)布置約5分鐘。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

設(shè) 計(jì) 說 明

 

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)注重體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，以發(fā)展學(xué)生為本的思想。遵循初一學(xué)生的心理特點(diǎn)（形象思維大于抽象思維）和認(rèn)知規(guī)律（從特殊到一般）。結(jié)合學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況（已較熟練掌握多項(xiàng)式乘法，并且本節(jié)之前也已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式）進(jìn)行本課設(shè)計(jì)的。下面就設(shè)計(jì)作幾點(diǎn)簡單說明：

1、完全平方公式的本質(zhì)是多項(xiàng)式乘法，它的推導(dǎo)方法與平方差公式推導(dǎo)方法是一樣的，根據(jù)乘方的意義與多項(xiàng)式乘法法則，就可以推導(dǎo)出完全平方公式。因此在兩數(shù)和的平方公式推導(dǎo)中，采取先由學(xué)生自己計(jì)算(a+b)²，然后教師點(diǎn)題的方式，再加上引課時(shí)已經(jīng)由幾何圖形面積的計(jì)算得出的結(jié)論(a+b)²=a²+2ab+b²，學(xué)生是容易接受的。在兩數(shù)差的平方公式推導(dǎo)中，更進(jìn)一步，由學(xué)生自主選擇一種模式解決、驗(yàn)證，增加了數(shù)學(xué)課堂的開放性。

2、充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究的能力。從引入時(shí)圖形變換的教師啟發(fā)引導(dǎo)，到公式驗(yàn)證、推導(dǎo)時(shí)的學(xué)生自主探索，再到學(xué)生與學(xué)生之間的合作交流學(xué)習(xí)，都突出了學(xué)生是探索性學(xué)習(xí)活動的主體。在公式拓展中還提出了思考題(a+b)³=？(a+b)⁴=？……(a+b+c)²=？培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鉆研探索的精神。同時(shí)讓學(xué)生明確本節(jié)課不僅要學(xué)會完全平方公式，更加要學(xué)會完全平方公式的推導(dǎo)方法，即授學(xué)生以漁，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。

    3、在練習(xí)設(shè)計(jì)與作業(yè)布置中都體現(xiàn)了分層次教學(xué)的要求，讓不同層次的學(xué)生都能主動的參與并都能得到充分的發(fā)展。同時(shí)也遵循了面向全體與因材施教相結(jié)合的教學(xué)原則。

4、充分挖掘本課時(shí)教材中的隱含的各種數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中滲透如建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、換元思想、化歸思想，注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力、求簡意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力等各方面能力。

5、公式(a-b)²=a²-2ab+b²可以作為(a+b)²=a²+2ab+b²的一個(gè)應(yīng)用，這樣兩個(gè)公式便統(tǒng)一為一個(gè)公式，這樣做有助于學(xué)生的記憶和理解，但作為應(yīng)用，實(shí)踐表明還是把它們分開來用的好。因此，教學(xué)中在公式(a-b)²=a²-2ab+b²的推導(dǎo)過程就有意識的安排與(a+b)²=a²-2ab+b²統(tǒng)一，但又它與(a+b)²=a²+2ab+b²同等的對待。最后在小結(jié)時(shí)，對于兩者的聯(lián)系再加以說明，讓學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)中的辯證統(tǒng)一思想。

 

 

 

課題：完全平方公式

一、教材分析：

（一）教材的地位與作用

本節(jié)內(nèi)容主要研究的是完全平方公式的推導(dǎo)和公式在整式乘法中的應(yīng)用。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念、整式的加減法、冪的運(yùn)算和整式的乘法后進(jìn)行學(xué)習(xí)的，其地位和作用主要體現(xiàn)在以下幾方面：

（1）整式是初中代數(shù)研究范圍內(nèi)的一塊重要內(nèi)容，整式的運(yùn)算又是整式中一大主干，乘法公式則是在學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘法、多項(xiàng)式乘法之后來進(jìn)行學(xué)習(xí)的；一方面是對多項(xiàng)式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、總結(jié)；另一方面，乘法公式的推導(dǎo)是初中代數(shù)中運(yùn)用推理方法進(jìn)行代數(shù)式恒等變形的開端，通過乘法公式的學(xué)習(xí)對簡化某些整式的運(yùn)算、培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識有較大好處。

（2）乘法公式是后續(xù)學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，不僅對學(xué)生提高運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率有較大作用，更是以后學(xué)習(xí)因式分解、分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，同時(shí)也具有培養(yǎng)學(xué)生逐漸養(yǎng)成嚴(yán)密的邏輯推理能力的功能。

（3）公式的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證給學(xué)生體驗(yàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)的基本方法和基本過程提供了很好模式。

 

（二）教學(xué)目標(biāo)的確定

在素質(zhì)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的發(fā)展為本，學(xué)生的能力培養(yǎng)為重，尤其是創(chuàng)新、創(chuàng)造能力，以及培養(yǎng)學(xué)生良好的個(gè)性品質(zhì)等。根據(jù)以上指導(dǎo)思想，同時(shí)參照義務(wù)教育階段《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

1、知識目標(biāo)：

理解公式的推導(dǎo)過程，了解公式的幾何背景，會應(yīng)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。

2、能力目標(biāo)：

滲透建模、化歸、換元、數(shù)形結(jié)合等思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力、求簡意識、應(yīng)用意識、解決問題的能力和創(chuàng)新能力。

3、情感目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)，勇于探索的精神和善于觀察，大膽創(chuàng)新的思維品質(zhì)。

 

 

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

完全平方公式和平方差公式一樣是主要的乘法公式，其本質(zhì)是多項(xiàng)式乘法，是學(xué)生今后用于計(jì)算的一種重要依據(jù)，因此，本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)如下：

本節(jié)的重點(diǎn)是體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，理解公式的本質(zhì)，并會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計(jì)算。

本節(jié)的難點(diǎn)是從廣泛意義上理解公式中的字母含義，判明要計(jì)算的代數(shù)式是哪兩數(shù)的和（差）的平方。

二、教學(xué)方法與手段

（一）教學(xué)方法：

針對初一學(xué)生的形象思維大于抽象思維，注意力不能持久等年齡特點(diǎn)，及本節(jié)課實(shí)際，采用自主探索，啟發(fā)引導(dǎo)，合作交流展開教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動地進(jìn)行觀察、猜測、驗(yàn)證和交流。同時(shí)考慮到學(xué)生的認(rèn)知方式、思維水平和學(xué)習(xí)能力的差異進(jìn)行分層次教學(xué)，讓不同層次的學(xué)生都能主動參與并都能得到充分的發(fā)展。邊啟發(fā)，邊探索邊歸納，突出以學(xué)生為主體的探索性學(xué)習(xí)活動和因材施教原則，教師努力為學(xué)生的探索性學(xué)習(xí)創(chuàng)造知識環(huán)境和氛圍，遵循知識產(chǎn)生過程，從特殊→一般→特殊，將所學(xué)的知識用于實(shí)踐中。

采用小組討論，大組競賽等多種形式激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

 

（二）教學(xué)手段：

利用投影儀輔助教學(xué)，突破教學(xué)難點(diǎn)，公式的推導(dǎo)變成生動、形象、直觀，提高教學(xué)效率。

（三）學(xué)法指導(dǎo)：

    在學(xué)法上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極思維，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，讓每個(gè)學(xué)生都動口、動手、動腦，自己歸納出運(yùn)算法則，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性。

三、教材處理

       根據(jù)本節(jié)內(nèi)容特點(diǎn)，本著循序漸進(jìn)的原則，我將以“邊長為(a+b)的正方形面積是多少？”這個(gè)實(shí)際問題引入新課，關(guān)于兩數(shù)和的平方公式通過實(shí)例、推導(dǎo)、驗(yàn)證幾個(gè)步驟完成。關(guān)于兩數(shù)差的平方公式，我將為學(xué)生提供三種不同的思路，由學(xué)生自己選擇學(xué)習(xí)、理解，然后再歸納的方法進(jìn)行，再通過分層次練習(xí)，加以鞏固。

 

 

 

 

 

 

 

四、教學(xué)程序

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

一、 創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

如圖，有一個(gè)邊長為a米的正方形廣場，則這個(gè)廣場的面積是多少？

a

            

 

若在這個(gè)廣場的相鄰兩邊鋪一條寬為10米的道路，則面積是多少？

              a    10

 

 

引導(dǎo)學(xué)生利用圖形分割求面積。

 

另一方面：正方形

10    10a    10²          面積為(a+10)², 所以：

                              (a+10)²=a²+20a+10²

a    a²    10a        

 

 

              a    10

 

b   ab     b²           把10替換為b,

                      (a+b)²=a²+2ab+b²

a    a²    ab          提出課題

 

 

              a    b

 

 

通過較為簡單的幾何圖形面積計(jì)算和較熟悉的整式乖法計(jì)算。引入本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容(a+b)·(a+b)

（根據(jù)初一學(xué)生年齡特點(diǎn)，采用圖形變化來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣）

 

問題是知識、能力的生長點(diǎn)，通過富有實(shí)際意義的問題能激活學(xué)生原有認(rèn)知，促使學(xué)生主動地進(jìn)行探索和思考。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

對公式(a+b)²=a²+2ab+b²的形式進(jìn)行初步認(rèn)識，接觸

 

 

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

二、交流對話，探求新知

1、推導(dǎo)兩數(shù)和的完全平方公式

計(jì)算(a+b)²

解：(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²

 

 

2、理解公式特征

①算式：兩數(shù)和的平方

②積：兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)積的2倍

 

 

3、語言敘述

   (a+b)²=a²+2ab+b²用語言如何敘述

 

 

4、公式(a-b)²=a²-2ab+b²教學(xué)

    ①利用多項(xiàng)式乘法 (a-b)²=(a-b)(a-b)

②利用換元思想   (a-b)²=[a+(-b)]²

③利用圖形          

                              b

 a 

                    

                          ^{(a-b)    b}

                           a  

5、學(xué)生總結(jié)、歸納：

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

這兩個(gè)公式叫做完全平方公式，兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩數(shù)積的2倍。

 

6、公式中的字母含義的理解。（學(xué)生回答）

    (x+2y)²是哪兩個(gè)數(shù)的和的平方？

    (x+2y)²=(   )²+2(   )(   )+(   )²

    (2x-5y)²是哪兩個(gè)數(shù)的差的平方？

(2x+5y)²=(   )²+2(   )(   )+(   )²

變式  (2x-5y)²可以看成是哪兩個(gè)數(shù)的和的平方？

利用多項(xiàng)式乘法推導(dǎo)公式，使學(xué)生了解公式的來源以及理解乘法公式的本質(zhì)。

 

組織學(xué)生小組討論，使學(xué)生明確公式特征，加深對公式表象的理解。

 

 

 

由學(xué)生對公式

(a+b)²=a²+2ab+b²進(jìn)行口頭語言敘述。

 

(1)說明：教師提供三種模式，由學(xué)生選擇一種去解決。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，開闊學(xué)生的思路。(2)同時(shí)對滲透數(shù)形結(jié)合思想、換元思想，也是分散、分步突破本節(jié)的難點(diǎn)的第一個(gè)層次；(3)體會辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)；(4)正確引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)知識的正遷移。

 

使學(xué)生學(xué)會對公式的正確表述，有利于學(xué)生正確用于計(jì)算之中，此時(shí)也可以讓學(xué)生對兩個(gè)公式特點(diǎn)進(jìn)行討論歸納，適當(dāng)總結(jié)一定的口訣：“頭平方，尾平方，兩倍的乘積中間放�！�

 

 

加深學(xué)生對公式中的字母含義的理解，明確字母意義的廣泛性

 

 

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

三、整理新知形成結(jié)構(gòu)

1、完全平方公式并分析公式左右的特征。

2、換元的基本想法

四、應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

1、例1教學(xué)：用完全平方公式計(jì)算

(1)(a+3)²  (2)(y- )²  (3)(-2x+t)²  (4)(-3x-4y)²

學(xué)生直接運(yùn)用公式計(jì)算，教師板演，講評時(shí)邊口述理由,針對第(4)題(-3x-4y)²可以看成是-3x與4y差的平方，也可以看成-3x與-4y和的平方

提出以下問題：

（1）可否看成兩數(shù)和的平方，運(yùn)用兩數(shù)和的平方公式來計(jì)算？

（2）可否看成兩數(shù)差的平方，運(yùn)用兩數(shù)差的平方公式來計(jì)算？

（3）能不能進(jìn)行符號轉(zhuǎn)化？如(-3x-4y)²=(3x+4y)²

  2、公式鞏固

  （1）同桌同學(xué)互相編一道用完全平方公式計(jì)算題目，然后解答。

  （2）下列各式的計(jì)算，錯(cuò)在哪里？應(yīng)怎樣改正？

①(a+b)²=a²+b²   ②(a-b)²=a²-b²

③(a-2b)²=a²+2ab+2b²

 3、練習(xí)：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(學(xué)生板演)

①(a+5)²     ②(3+x)²      ③(y-2)²  ④(7-y)²

⑤(2x+3y)²⑥(-2x-3y)² ⑦(3- )² ⑧(- - )²

 4、例2，運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：(1)101²  (2)98²

 

5、練習(xí)：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算

(1)91²   (2)798²   (3)(10 )²

 

 

6、討論：(1-2x)(-1-2x), (x-2y)(-2y+1)如何計(jì)算

 

五、公式拓展，鼓勵(lì)探究

 1、a²+b²=(a+b)²-______   a²+b²+ _______=(a+b)²

a²+b²+ ________ =(a-b)²

 2、(a+b)²-(a-b)²=______   3、(a+b+c)²=________

 

4、提出思考題：(a+b)³=?  (a+b)⁴=?

5、已知 求 的值。

6、已知： ，求 ， 的值。

6. 已知 ，求x和y的值。

(1)遵循及時(shí)鞏固原則。(2)針對初一學(xué)生注意力不能持久的特點(diǎn)。(3)形成知識網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)公式的運(yùn)用

 

 

 

(1)直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。(2)進(jìn)一步幫助學(xué)生掌握換元法。(3)進(jìn)行符號轉(zhuǎn)化的變換，加深學(xué)生對公式理解的深度，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它知識打好基礎(chǔ)。

 

 

 

 

 

 

對這幾個(gè)式子的辨析目的在于防止學(xué)生對以前學(xué)過的如(ab)²=a²b²的公式的負(fù)遷移作用

講練結(jié)合

 

(1)合作學(xué)習(xí)，四人小組討論（教師逐步引導(dǎo)到運(yùn)用完全平方公式計(jì)算）學(xué)生講自己解題的想法和步驟，培養(yǎng)語言表達(dá)能力。(2)體會公式實(shí)際運(yùn)用作用，增加學(xué)習(xí)興趣

 

進(jìn)一步辨析完全平方公式與平方差公式的區(qū)別

 

公式變形利于各種計(jì)算

 

 

 

提出一個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)習(xí)研究完全平方公式的方法去研究公式的拓展變形問題。如：三項(xiàng)式的平方，兩項(xiàng)式的立方、四次方等，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鉆研精神。

 

教  學(xué)  過  程

設(shè)計(jì)意圖

六、小結(jié)提高，知識升華

 1、兩個(gè)公式 (a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

 2、兩種推導(dǎo)方法：多項(xiàng)式乘法導(dǎo)出；圖形面積導(dǎo)出

 3、換元法與轉(zhuǎn)化

七、作業(yè)布置，分層落實(shí)

 1、閱讀教材  6.17內(nèi)容

 2、見省編作業(yè)本 6.17

 3、對(a+b)²,(a+b)³ ……的展開式從項(xiàng)數(shù)、系數(shù)方面進(jìn)行研究

由學(xué)生自己小結(jié)本節(jié)所學(xué)知識、方法等。教師根據(jù)學(xué)生回答情況作出補(bǔ)充。

 

 

 

 

(1)作業(yè)1主要以培養(yǎng)學(xué)習(xí)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣為目的。(2)結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況，貫徹面向全體學(xué)生，因材施教原則。作業(yè)2要求全體學(xué)都能完成。作業(yè)3為選做題，部分學(xué)有余力的學(xué)生可選做。在減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)同時(shí)，注重人本思想，以學(xué)生的能力發(fā)展為重。 也能滿足不同層次學(xué)生的不同要求。

 

附：板書設(shè)計(jì)與時(shí)間大致安排

 

屏  幕

課題

公式……例題

學(xué)生板演

 

本課時(shí)的時(shí)間大致安排：

引入課題3分鐘左右，探求新知15分鐘左右，整理新知2分鐘左右，應(yīng)用新知15分鐘左右，公式拓展5分鐘左右，小結(jié)作業(yè)布置約5分鐘。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

設(shè) 計(jì) 說 明

 

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)注重體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，以發(fā)展學(xué)生為本的思想。遵循初一學(xué)生的心理特點(diǎn)（形象思維大于抽象思維）和認(rèn)知規(guī)律（從特殊到一般）。結(jié)合學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況（已較熟練掌握多項(xiàng)式乘法，并且本節(jié)之前也已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式）進(jìn)行本課設(shè)計(jì)的。下面就設(shè)計(jì)作幾點(diǎn)簡單說明：

1、完全平方公式的本質(zhì)是多項(xiàng)式乘法，它的推導(dǎo)方法與平方差公式推導(dǎo)方法是一樣的，根據(jù)乘方的意義與多項(xiàng)式乘法法則，就可以推導(dǎo)出完全平方公式。因此在兩數(shù)和的平方公式推導(dǎo)中，采取先由學(xué)生自己計(jì)算(a+b)²，然后教師點(diǎn)題的方式，再加上引課時(shí)已經(jīng)由幾何圖形面積的計(jì)算得出的結(jié)論(a+b)²=a²+2ab+b²，學(xué)生是容易接受的。在兩數(shù)差的平方公式推導(dǎo)中，更進(jìn)一步，由學(xué)生自主選擇一種模式解決、驗(yàn)證，增加了數(shù)學(xué)課堂的開放性。

2、充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究的能力。從引入時(shí)圖形變換的教師啟發(fā)引導(dǎo)，到公式驗(yàn)證、推導(dǎo)時(shí)的學(xué)生自主探索，再到學(xué)生與學(xué)生之間的合作交流學(xué)習(xí)，都突出了學(xué)生是探索性學(xué)習(xí)活動的主體。在公式拓展中還提出了思考題(a+b)³=？(a+b)⁴=？……(a+b+c)²=？培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鉆研探索的精神。同時(shí)讓學(xué)生明確本節(jié)課不僅要學(xué)會完全平方公式，更加要學(xué)會完全平方公式的推導(dǎo)方法，即授學(xué)生以漁，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。

    3、在練習(xí)設(shè)計(jì)與作業(yè)布置中都體現(xiàn)了分層次教學(xué)的要求，讓不同層次的學(xué)生都能主動的參與并都能得到充分的發(fā)展。同時(shí)也遵循了面向全體與因材施教相結(jié)合的教學(xué)原則。

4、充分挖掘本課時(shí)教材中的隱含的各種數(shù)學(xué)思想，在教學(xué)中滲透如建模思想、數(shù)形結(jié)合思想、換元思想、化歸思想，注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力、求簡意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新能力等各方面能力。

5、公式(a-b)²=a²-2ab+b²可以作為(a+b)²=a²+2ab+b²的一個(gè)應(yīng)用，這樣兩個(gè)公式便統(tǒng)一為一個(gè)公式，這樣做有助于學(xué)生的記憶和理解，但作為應(yīng)用，實(shí)踐表明還是把它們分開來用的好。因此，教學(xué)中在公式(a-b)²=a²-2ab+b²的推導(dǎo)過程就有意識的安排與(a+b)²=a²-2ab+b²統(tǒng)一，但又它與(a+b)²=a²+2ab+b²同等的對待。最后在小結(jié)時(shí)，對于兩者的聯(lián)系再加以說明，讓學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)中的辯證統(tǒng)一思想。

 

 

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