分式方程的應用 —— 初中數學第三冊教案

列分式方程解應用題

教學目標

　　1.使學生能分析題目中的等量關系，掌握列分式方程解應用題的方法和步驟，提高學生分析問題和解決問題的能力；

　　2.通過列分式方程解應用題，滲透方程的思想方法。

教學重點和難點

　　重點：列分式方程解應用題.

　　難點：根據題意，找出等量關系，正確列出方程.

教學過程設計

　　一、復習

　　例  解方程：

　　(1)2x+xx+3=1;　　　　(2)15x=2×15 x+12;

　　(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.

　　解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母，得

　　　　　　　　　2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6

　　所以　　　　　　　　x=6.

　　檢驗：當x=6時，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　(2)方程兩邊都乘以x(x+12)，約去分母，得

　　　　　　　　　　　15(x+12)=30x.

　　　解這個整式方程，得

　　　　　　　　　　　x=12.

　　 檢驗：當x=12時,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

　　(3)整理，得

　　　　　　　　2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,

　　即　　　　　　　　　　2x+xx+3=1.

　　方程兩邊都乘以x(x+3)，去分母，得

　　　　　　　　　　　　　　2(x+3)+x2=x(x+3),

　　即　　　　　　　　　　　　 2x+6+x2=x2+3x,

　　亦即　　　　　　　　　　　　2x－3x=－6.

　　解這個整式方程，得　　　　　　x=6.

　　檢驗：當x=6時，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　二、新課

　　例1 一隊學生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學生騎車從學校出發(fā)，按原路追趕隊伍.若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍，這名學生追上隊伍時離學校的距離是15千米，問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間?

　　請同學根據題意，找出題目中的等量關系.

　　答：騎車行進路程=隊伍行進路程=15(千米)；

　　　　騎車的速度=步行速度的2倍；

　　　　騎車所用的時間=步行的時間－0.5小時.

　　請同學依據上述等量關系列出方程.

　　答案：

　　方法1　　設這名學生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為

　　　　　　　　　　　　         15x=2×15 x+12.

　　方法2　　設步行速度為x千米／時，騎車速度為2x千米／時，依題意列方程為

　　　　　　　　　　　　　　　　　15x－15 2x=12.

　　解　　由方法1所列出的方程，已在復習中解出，下面解由方法2所列出的方程.

　　方程兩邊都乘以2x，去分母，得

　　　　　　　　　　　　　　　　30－15=x，

　　所以　　　　　　　　　　　　　  x=15.

　　檢驗：當x=15時，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意.

　　所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米／時=12小時.

　　答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘.

　　指出：在例1中我們運用了兩個關系式，即時間=距離速度，速度=距離 時間.

　　如果設速度為未知量，那么按時間找等量關系列方程；如果設時間為未知量，那么按

速度找等量關系列方程，所列出的方程都是分式方程.

　　例2 某工程需在規(guī)定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成.現由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天?

　　分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設為s，工作所用時間設為t，工作效率設為m，三個量之間的關系是

　　　　　　　　　　　　　　　s=mt,或t=sm，或m=st.

　　請同學根據題中的等量關系列出方程.

　　答案：

　　方法1　　工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數，設為x天，那么乙單獨完成工程所需的天數就是(x+3)天，設工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依題意，列方程為

　　　　　　　　　　　　2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.

　　指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量.

　　方法2　　設規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據題意列方程

　　　　　　　　　　　　 2x+xx+3=1.

　　方法3　　根據等量關系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設規(guī)定日期為x天，則可列方程

　　　　　　　　　　　　1－2x=2x+3+x－2x+3.

　　用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了.重點是找等量關系列方程.

　　三、課堂練習

　　1.甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數.

　　2.A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度.

　　答案：

　　1.甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件.

　　2.大，小汽車的速度分別為18千米／時和45千米／時.

　　四、小結

　　1.列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題的方法與步驟基本相同，不同點是，解分式方程必須要驗根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意.原方程的增根和不符合題意的根都應舍去.

　　2.列分式方程解應用題，一般是求什么量，就設所求的量為未知數，這種設未知數的方法，叫做設直接未知數.但有時可根據題目特點不直接設題目所求的量為未知量，而是設另外的量為未知量，這種設未知數的方法叫做設間接未知數.在列分式方程解應用題時，設間接未知數，有時可使解答變得簡捷.例如在課堂練習中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間，如果設直接未知數，即設，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需(x+5－12)小時，依題意，列方程

135 x+5－12：135x=2：5.

     解這個分式方程，運算較繁瑣.如果設間接未知數，即設速度為未知數，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運算就簡便多了.

　　五、作業(yè)

　　1.填空：

　　(1)一件工作甲單獨做要m小時完成，乙單獨做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是______小時；

　　(2)某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數是______;

　　(3)把a千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克.

　　2.列方程解應用題.

　　(1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當第二次加工時，他革新了工具，改進了操作方法，結果比第一次少用了18個小時.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件?

　　(2)某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40千米用多少小時?

　　(3)已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米?

　　(4)A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度.

　　答案：

　　1.(1)mn m+n;　　(2)m a－b－ma;　　(3)ma a+b.

　　2.(1)第二次加工時，每小時加工125個零件.

　　  (2)步行40千米所用的時間為40 4=10(時).答步行40千米用了10小時.

　　　(3)江水的流速為4千米／時.

　　課堂教學設計說明

　　1.教學設計中，對于例1，引導學生依據題意，找到三個等量關系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例2，引導學生依據題意，用三種不同的方法列出方程.這種安排，意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣.這就為在列分式方程解應用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間.

　　2.教學設計中體現了充分發(fā)揮例題的模式作用.例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度(或時間)；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間(或工作效率).這些都是運用列分式方程求解的典型問題.教學中引導學生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關系，以及列方程求解的思路，以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另?別，讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.學生完成課堂練習和作業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路.

　　3.通過列分式方程解應用題數學，滲透了方程的思想方法，從中使學生認識到方程的思想方法是數學中解決問題的一個銳利武器.方程的思想方法可以用“以假當真”和“弄假成真”兩句話形容.如何通過設直接未知數或間接未知數的方法，假設所求的量為x，這時就把它作為一個實實在在的量.通過找等量關系列方程，此時是把已知量與假設的未知量平等看待，這就是“以假當真”.通過解方程求得問題的解，原先假設的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”.

列分式方程解應用題

教學目標

　　1.使學生能分析題目中的等量關系，掌握列分式方程解應用題的方法和步驟，提高學生分析問題和解決問題的能力；

　　2.通過列分式方程解應用題，滲透方程的思想方法。

教學重點和難點

　　重點：列分式方程解應用題.

　　難點：根據題意，找出等量關系，正確列出方程.

教學過程設計

　　一、復習

　　例  解方程：

　　(1)2x+xx+3=1;　　　　(2)15x=2×15 x+12;

　　(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.

　　解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母，得

　　　　　　　　　2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6

　　所以　　　　　　　　x=6.

　　檢驗：當x=6時，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　(2)方程兩邊都乘以x(x+12)，約去分母，得

　　　　　　　　　　　15(x+12)=30x.

　　　解這個整式方程，得

　　　　　　　　　　　x=12.

　　 檢驗：當x=12時,x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.

　　(3)整理，得

　　　　　　　　2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,

　　即　　　　　　　　　　2x+xx+3=1.

　　方程兩邊都乘以x(x+3)，去分母，得

　　　　　　　　　　　　　　2(x+3)+x2=x(x+3),

　　即　　　　　　　　　　　　 2x+6+x2=x2+3x,

　　亦即　　　　　　　　　　　　2x－3x=－6.

　　解這個整式方程，得　　　　　　x=6.

　　檢驗：當x=6時，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.

　　二、新課

　　例1 一隊學生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學校要把一個緊急通知傳給帶隊老師，派一名學生騎車從學校出發(fā)，按原路追趕隊伍.若騎車的速度是隊伍進行速度的2倍，這名學生追上隊伍時離學校的距離是15千米，問這名學生從學校出發(fā)到追上隊伍用了多少時間?

　　請同學根據題意，找出題目中的等量關系.

　　答：騎車行進路程=隊伍行進路程=15(千米)；

　　　　騎車的速度=步行速度的2倍；

　　　　騎車所用的時間=步行的時間－0.5小時.

　　請同學依據上述等量關系列出方程.

　　答案：

　　方法1　　設這名學生騎車追上隊伍需x小時，依題意列方程為

　　　　　　　　　　　　         15x=2×15 x+12.

　　方法2　　設步行速度為x千米／時，騎車速度為2x千米／時，依題意列方程為

　　　　　　　　　　　　　　　　　15x－15 2x=12.

　　解　　由方法1所列出的方程，已在復習中解出，下面解由方法2所列出的方程.

　　方程兩邊都乘以2x，去分母，得

　　　　　　　　　　　　　　　　30－15=x，

　　所以　　　　　　　　　　　　　  x=15.

　　檢驗：當x=15時，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意.

　　所以騎車追上隊伍所用的時間為15千米 30千米／時=12小時.

　　答：騎車追上隊伍所用的時間為30分鐘.

　　指出：在例1中我們運用了兩個關系式，即時間=距離速度，速度=距離 時間.

　　如果設速度為未知量，那么按時間找等量關系列方程；如果設時間為未知量，那么按

速度找等量關系列方程，所列出的方程都是分式方程.

　　例2 某工程需在規(guī)定日期內完成，若由甲隊去做，恰好如期完成；若由乙隊去做，要超過規(guī)定日期三天完成.現由甲、乙兩隊合做兩天，剩下的工程由乙獨做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天?

　　分析；這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設為s，工作所用時間設為t，工作效率設為m，三個量之間的關系是

　　　　　　　　　　　　　　　s=mt,或t=sm，或m=st.

　　請同學根據題中的等量關系列出方程.

　　答案：

　　方法1　　工程規(guī)定日期就是甲單獨完成工程所需天數，設為x天，那么乙單獨完成工程所需的天數就是(x+3)天，設工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依題意，列方程為

　　　　　　　　　　　　2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.

　　指出：工作效率的意義是單位時間完成的工作量.

　　方法2　　設規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據題意列方程

　　　　　　　　　　　　 2x+xx+3=1.

　　方法3　　根據等量關系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設規(guī)定日期為x天，則可列方程

　　　　　　　　　　　　1－2x=2x+3+x－2x+3.

　　用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了.重點是找等量關系列方程.

　　三、課堂練習

　　1.甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數.

　　2.A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度.

　　答案：

　　1.甲每小時加工15個零件，乙每小時加工20個零件.

　　2.大，小汽車的速度分別為18千米／時和45千米／時.

　　四、小結

　　1.列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題的方法與步驟基本相同，不同點是，解分式方程必須要驗根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意.原方程的增根和不符合題意的根都應舍去.

　　2.列分式方程解應用題，一般是求什么量，就設所求的量為未知數，這種設未知數的方法，叫做設直接未知數.但有時可根據題目特點不直接設題目所求的量為未知量，而是設另外的量為未知量，這種設未知數的方法叫做設間接未知數.在列分式方程解應用題時，設間接未知數，有時可使解答變得簡捷.例如在課堂練習中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達B地各用的時間，如果設直接未知數，即設，小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需(x+5－12)小時，依題意，列方程

135 x+5－12：135x=2：5.

     解這個分式方程，運算較繁瑣.如果設間接未知數，即設速度為未知數，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運算就簡便多了.

　　五、作業(yè)

　　1.填空：

　　(1)一件工作甲單獨做要m小時完成，乙單獨做要n小時完成，如果兩人合做，完成這件工作的時間是______小時；

　　(2)某食堂有米m公斤，原計劃每天用糧a公斤，現在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計劃多用天數是______;

　　(3)把a千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克.

　　2.列方程解應用題.

　　(1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個，當第二次加工時，他革新了工具，改進了操作方法，結果比第一次少用了18個小時.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工時每小時加工多少零件?

　　(2)某人騎自行車比步行每小時多走8千米，如果他步行12千米所用時間與騎車行36千米所用的時間相等，求他步行40千米用多少小時?

　　(3)已知輪船在靜水中每小時行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時間與逆流航行48千米所用的時間相同，那么此江水每小時的流速是多少千米?

　　(4)A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度.

　　答案：

　　1.(1)mn m+n;　　(2)m a－b－ma;　　(3)ma a+b.

　　2.(1)第二次加工時，每小時加工125個零件.

　　  (2)步行40千米所用的時間為40 4=10(時).答步行40千米用了10小時.

　　　(3)江水的流速為4千米／時.

　　課堂教學設計說明

　　1.教學設計中，對于例1，引導學生依據題意，找到三個等量關系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例2，引導學生依據題意，用三種不同的方法列出方程.這種安排，意在啟發(fā)學生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習慣.這就為在列分式方程解應用題教學中培養(yǎng)學生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間.

　　2.教學設計中體現了充分發(fā)揮例題的模式作用.例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度(或時間)；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間(或工作效率).這些都是運用列分式方程求解的典型問題.教學中引導學生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關系，以及列方程求解的思路，以促使學生加深對模式的主要特征的理解和識另?別，讓學生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.學生完成課堂練習和作業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路.

　　3.通過列分式方程解應用題數學，滲透了方程的思想方法，從中使學生認識到方程的思想方法是數學中解決問題的一個銳利武器.方程的思想方法可以用“以假當真”和“弄假成真”兩句話形容.如何通過設直接未知數或間接未知數的方法，假設所求的量為x，這時就把它作為一個實實在在的量.通過找等量關系列方程，此時是把已知量與假設的未知量平等看待，這就是“以假當真”.通過解方程求得問題的解，原先假設的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”.

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