中心對稱和中心對稱圖形

教學建議

　　知識歸納

　　1．中心對稱

　　把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn) ，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱，這個點叫做對稱中心，兩個圖形關(guān)于點對稱也稱中心對稱，這兩個圖形中的對應點，叫做關(guān)于中心的對稱點．

　　中心對稱的兩個圖形具有如下性質(zhì)：（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形全等；（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線都過對稱中心，并且被對稱中心平分．

　　判斷兩個圖形成中心對稱的方法是：如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱．

　　2．中心對稱圖形

　　把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn) ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．

　　矩形、菱形、正方形、平行四邊形都是中心對稱圖形，對角錢的交點就是它們的對稱中心；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；線段也是中心對稱圖形，線段中點就是它的對稱中心．

　　知識結(jié)構(gòu)

　　

　　重點、難點分析：

　　本節(jié)課的重點是中心對稱的概念、性質(zhì)和作已知點關(guān)于某點的對稱點.因為概念是推導三個性質(zhì)的主要依據(jù)、性質(zhì)是今后解決有關(guān)問題的理論依據(jù)；而作已知點關(guān)于某個點的對稱點又是作中心對稱圖形的關(guān)鍵.

　　本節(jié)課的難點是中心對稱與中心對稱圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別.從概念角度來說，中心對稱圖形和中心對稱是兩個不同而又緊密相聯(lián)的概念.從學生角度來講，在學習軸對稱時，有相當一部分學生對軸對稱和軸對稱圖形的概念理解上出現(xiàn)誤點.因此本節(jié)課的難點是中心對稱與中心對稱圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別.

　　教法建議

　　本節(jié)內(nèi)容和生活結(jié)合較多，新課導入可考慮以下方法：

　�。�1）從相似概念引入：中心對稱概念與軸對稱概念比較相似，中心對稱圖形與軸對稱圖形比較相似，可從軸對稱類比引入，

　�。�2）從漢字引入：有許多漢字都是中心對稱圖形，如“田”、“日”、“曰”、“中”、“申”、“王”，等等，可從漢字引入，

　�。�3）從生活實例引入：生活中有許多中心對稱實例和中心對稱圖形，如飛機的螺旋槳，風車的風輪，紐結(jié)，雪花，等等，可從生活實例引入，

　�。�4）從商標引入：各公司、企業(yè)的商標中有許多中心對稱實例和中心對稱圖形，如聯(lián)想，聯(lián)合證券，湘財證券，中國工商銀行，中國銀行，等等，可從這些商標引入，

　　（5）從車標引入：各品牌汽車的車標中有許多都是中心對稱圖形，如奧迪，韓國現(xiàn)代，本田，富康，歐寶，寶馬，等等，可從車標引入，

　�。�6）從幾何圖形引入：學習過的許多圖形都是中心對稱圖形，如圓，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等等，可從幾何圖形引入，

　�。�7）從藝術(shù)品引入：藝術(shù)品中有許多都是呈中心對稱或是中心對稱圖形，如下圖，可從藝術(shù)品引入。

 

教學設計示例

　　教學目標

　　1．知道中心對稱的概念，能說出中心對稱的定義和關(guān)于中心對稱的兩個圖形的性質(zhì)。

　　2．會根據(jù)關(guān)于中心對稱圖形的性質(zhì)定理2的逆定理來判定兩個圖形關(guān)于一點對稱；會畫與已知圖形關(guān)于一點成中心對稱的圖形。

　　此外，通過復習圖形軸對稱，并與中心對稱比較，滲透類比的思想方法；用運動的觀點觀察和認識圖形，滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想。

　　引導性材料

　　想一想：怎樣的兩個圖形叫做關(guān)于某直線成軸對稱？成軸對稱的兩個圖形有什么性質(zhì)？

　　（幫助學生復習軸對稱的有關(guān)知識，為中心對稱教學作準備）

　　畫一畫：如圖4.7-1(1)，已知點P和直線L，畫出點P關(guān)于直線L的對稱點P′；如圖4.7-1(2)，已知線段MN和直線a,畫出線段MN關(guān)于直線a的對稱線段M′N′。

　　(通過畫圖形進一步鞏固和加深對軸對稱的認識)

　　上述問題由學生回答，教師作必要的提示，并歸納總結(jié)成下表：

 

軸對稱

 

定義三要點

1
2
3

有一條對稱軸---直線
圖形沿軸對折，即翻轉(zhuǎn)180度
翻轉(zhuǎn)后與另一圖形重合

 

性質(zhì)

1
2
3

兩個圖形是全等形
對稱軸是對應點連線的垂直平分線
對應線段或延長線相交，交點在對稱軸上

 

　　觀察與思考：圖4.7-2所示的圖形關(guān)于某條直線成軸對稱嗎？如果是，畫出對稱軸，如果不是，說明理由。

　�。ń處煱褕D4.7－2的兩個圖形制成投影片或教具，學生仔細觀察后，能發(fā)現(xiàn)這兩個圖形都不是軸對稱。然后，教師適時提出問題：這兩個圖形能不能重合？怎樣才能使這兩個圖形重合呢？讓學生觀察、探究、討論，教師可以直觀地演示中心對稱變換的過程，讓學生發(fā)現(xiàn)：把其中一個圖形統(tǒng)一特殊點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合。）

　　教學設計

　　問題1：你能舉出1～2個實例或?qū)嵨�，說明它們也具有上面所說的特性嗎？

　　說明：學生自己舉例有助于他們感性地認識中心對稱的意義。然后，教師指出：具有這種特性的圖形叫做中心對稱圖形，并介紹對稱中心，對稱點等概念。

　　問題2：你能給“中心對稱”下一個定義嗎？

　　說明與建議：學生下定義會有困難，教師應及時修正，并給出明確的定義，然后指出定義中的三個要點：（l）有一個對稱中心——點；（2）圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180度；（3）旋轉(zhuǎn)后與另一圖形重合。把這三要點填入引導性材料中的空表內(nèi)，在頂空格內(nèi)寫上“中心對稱”字樣，以利于寫“軸對稱”進行比較。

　　練一練：在圖4.7－3中，已知△ABC和△EFG關(guān)于點O成中心對稱，分別找出圖中的對稱點和對稱線段。

　　說明與建議：教師可演示△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180度后與△EFG重合的過程，讓學生說出點E和點A，點B和點F，點C和點G是對稱點；線段AB和EF、線段AC和EG，線段BC和FG都是對稱線段。教師還可向?qū)W生指出，圖4.7－3中，點A、O、E在一條直線上，點C、O、G在一條直線上，點B、O、F在一條直線上，且AO=EO，BO=FO，CO＝GO。

　　問題3：從上面的練習及分析中，可以看出關(guān)于中心對稱的兩個圖形具有哪些性質(zhì)？

　　說明與建議：引導學生總結(jié)出關(guān)于中心對稱的兩個圖形的性質(zhì)：定理l---關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形；定理2——關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

　　問題4：定理2的題設和結(jié)論各是什么？試說出它的逆命題。

　　說明與建議：學生解答此題有困難，教師要及時引導。特別是敘述命題時，學生常常照搬“對稱點”、“對稱中心”這些詞語，教師應指出：由于沒有“兩個圖形關(guān)于中心對稱”的前提，所以不能使用“對稱點”、“對稱中心”這樣的詞語，而要改為“對應如”、“某一點”。最后，教師應完整地敘述這個逆命題---如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于點對稱。

　　問題5：怎樣證明這個逆命題是正確的？

　　說明與建議：證明過程應在教師的引導下，師生共同完成。由已知條件——對應點的連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，可以知道：若把其中一個圖形繞著這點旋轉(zhuǎn)180度，它必定于另一個圖形重合，因此，根據(jù)定義可以判定這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。這個逆命題即為逆定理。根據(jù)這個逆定理，可以判定兩個圖形關(guān)于一點對稱，也可以畫出已知圖形關(guān)于一點的對稱圖形。

　　練一練：訪畫出圖4．7－4中，線段PQ關(guān)于點O的對稱線段P′Q′。

　�。ó嫹ㄈ缦拢海�1）連結(jié)PO，延長PO到P′，使OP′＝OP，點P′就是點P關(guān)于點O的對稱點，（2）連結(jié)QO，延長QO到Q′，使Q′Q=OQ，點Q′就是點Q的對稱點，則PQ′就是線段PQ關(guān)于O點的對稱線段。教師應指出：畫一個圖形關(guān)于某點的中心對稱圖形，關(guān)鍵是畫“對稱點”。比如，畫一個三角形關(guān)于某點的中心對稱三角形，只要畫出三角形三個頂點的對稱點，就可以畫出所要求的三角形。）

　　例題解析

　　課本例題

　　說明：（l）教師應讓學生讀題分析，給每個學生印發(fā)一張印有圖4.7-5的紙，讓學生動手畫圖。（2）畫好圖后讓學生總結(jié)：畫多邊形的中心對稱圖形只要畫出多邊形各頂點的對稱點，即能畫出所求的對稱圖形。

　　課堂練習

　　課本例后練習第1、2題。

　　（對第2題，應先畫出圖形，然后按照中心對稱的定義或逆定理來說明理由。第2題的第（1）小題可用定義說明，第2題的第（2）小題可根據(jù)逆定理來說明。這里把平行四邊形的對角頂點和平行四邊形的對邊分別看成兩個圖形：分別是兩個點和兩條線段。）

　　1.

　　2．中心對稱與軸對稱有什么不同？

　　中心對稱——圖形繞點旋轉(zhuǎn)180度。

　　軸對稱——圖形沿軸翻折180度。

　　作業(yè)

　　1.課本習題4.4A組第1題(1)。

　　2.課本習題4.4A組第3、4題。

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