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二次根式的乘法
教學(xué)建議
知識結(jié)構(gòu)：
重點難點分析：
本節(jié)的教學(xué)重點是利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的計算和化簡.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)是本節(jié)的中心內(nèi)容，化簡和運算都是圍繞其進行的，而運用此性質(zhì)計算化簡又是二次根式的化簡和混合運算的基礎(chǔ).二次根式的計算和化簡通常與如勾股定理等幾何方面的知識綜合在一起.
本節(jié)難點是二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用.積的算術(shù)平方根在應(yīng)用時既要強調(diào)這部分題目中的字母為正數(shù)，但又要注意防止學(xué)生產(chǎn)生字母只表示正數(shù)的片面認識.要讓學(xué)生認識到積的算術(shù)平方根性質(zhì)與根式的乘法公式是互為逆運算的關(guān)系。綜合應(yīng)用性質(zhì)或乘法公式時要注意題目中的條件一定要滿足.
教法建議：
1. 由于性質(zhì)、法則和關(guān)系式較集中，在二次根式的計算、化簡和應(yīng)用中又相互交錯，綜合運用，因此要使學(xué)生在認識過程中脈絡(luò)清楚，條理分明，在教學(xué)時就一定要逐步有序的展開.在講解二次根式的乘法時可以結(jié)合積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，讓學(xué)生把握兩者的關(guān)系。
2. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和 （ ）及比較大小等內(nèi)容都可以通過從特殊到一般的歸納方法，讓學(xué)生通過計算一組具體的式子，引導(dǎo)他們做出一般的結(jié)論。由于歸納是通過對一些個別的、特殊的例子的研究，從表象到本質(zhì)，進而猜想出一般的結(jié)論，這種思維過程對于初中學(xué)生認識、研究和發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律有著重要的作用，所以在教學(xué)中對于培養(yǎng)的思維品質(zhì)有著重要的作用。
教學(xué)設(shè)計示例
二次根式的乘法(一)
一、教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生能夠利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行二次根式的化簡與運算．
2．會進行簡單的二次根式的乘法運算．
3．使學(xué)生能聯(lián)系幾何課中學(xué)習(xí)的勾股定理解決實際問題．
4．使學(xué)生了解比較二次根式的大小的方法．
二、教學(xué)重點和難點
1．重點：會利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式，會進行簡單的二次根式的乘法運算．
2．難點：二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用．
三、教學(xué)方法
從特殊到一般總結(jié)歸納的方法，類比的方法，講授與練習(xí)結(jié)合法．
四、教學(xué)手段
利用投影儀．
五、教學(xué)過程
(一)引入新課
觀察下面的例子：
于是可得到：
又如：
類似地可以得到：
(二)新課
積的算術(shù)平方根．
由前面所舉特殊的例子，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：一般地，有 (a≥0，b≥0)．
積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積．
要注意a≥0、b≥0的條件，因為只有a、b都是非負數(shù)公式才能成立，這里要啟發(fā)學(xué)生為什么必須a≥0、b≥0．在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示正數(shù)，下面啟發(fā)學(xué)生從運算順序看，等號左邊是將非負數(shù)a、b先做乘法求積，再開方求積的算術(shù)平方根，等號右邊是先分別求a、b的兩因數(shù)的算術(shù)平方根，然后再求兩個算術(shù)平方根的積．
根據(jù)這個性質(zhì)可以對二次根式進行恒等變形，或?qū)⒂械囊蚴竭m當(dāng)改變移到根號外邊，或?qū)⒏柾膺叺姆秦撘蚴狡椒胶笠频礁杻?nèi)．
例1 把下面各數(shù)分解因數(shù)：
(1)20； (2)42； (3)63； (4)128．
說明：通過本題復(fù)習(xí)分解因數(shù)，為利用積的算術(shù)平方根公式化簡二次根式打下基礎(chǔ)．
解：略．
例2 化簡：
�。�1） �。�2）
（3） �。�4）
分析：本題需要用積的算術(shù)平方根公式進行化簡，題目中的被開方數(shù)都是具體數(shù)字，學(xué)生便于理解，在講完例2后可以總結(jié)化簡的方法．
解：（1）
（2）
�。�3）
�。�4）
說明：① (a≥0，b≥0)可以推廣為 (a≥0，b≥0，c≥0)．
②這個小題與本章章頭圖與章序言的內(nèi)容有聯(lián)系，解答了章序言中提出的一個問題．
③ (4)小題要首先用平方差公式分解成積的形式，才可以用積的算術(shù)平方根公式進行化簡．
④通過例2可以看出，如果一個二次根式的被開方數(shù)中有的因式(或因數(shù))能開得盡方，可以利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將這些因式(或因數(shù))開出來，從而將二次根式化簡．
通過例2，我們根據(jù)算術(shù)平方根的定義，可得出： ， ， 等結(jié)果，于是可以總結(jié)出：一般地，有
（a≥0）
關(guān)于a＜0時， ，這種情況將在本章最后一小節(jié)專門研究.
例3 化簡：
�。�1） ； �。�2）
分析：由例3，讓學(xué)生注意，在本章中，未加特別說明時，字母一般表示正數(shù)，但在實際問題中不一定非是正數(shù)不可，如第(1)小題，a可以是負數(shù)，根據(jù)學(xué)生實際情況，可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生展開小組的討論，滲透分類討論的思想．
解：（1）
�。�2）
說明：x2+y2這個式子不能再開方了，進一步強調(diào)積的算術(shù)平方根公式的特點．
例4 如右圖，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．
解：∵ AB2=AC2+BC2
∴
(cm)
答：AB長26cm．
(三)小結(jié)
1．本節(jié)課講了積的算術(shù)平方根的性質(zhì)
(a≥0，b≥0)．
通過分式的應(yīng)用，讓學(xué)生進一步總結(jié)，為什么必須有a≥0、b≥0這個條件，而沒有這個條件上述性質(zhì)不成立．
問學(xué)生：當(dāng)a＜0，b＜0， 也有意義，為什么一定要a≥0、b≥0呢？
引導(dǎo)學(xué)生說出：若a＜0，b＜0， ， 在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義. 公式顯然不成立．
2．利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，化簡二次根式的方法．
3．結(jié)合幾何課學(xué)習(xí)的勾股定理，提高學(xué)生解決實際問題的能力．
(四)練習(xí)
1． 化簡：
�。�1） ； （2） ；
�。�3） ； �。�4） ；
�。�5） ; (6) ；
�。�7） ； �。�8）
2． 計算：
�。�1） ； �。�2） ；
�。�3） ； �。�4）
3．已知一個直角三角形的斜邊c=21，一條直角邊b＝4，求另一條直角邊a．
六、作業(yè)
教材P．177習(xí)題11．2； A組1、2、3、4、5．
七、板書設(shè)計
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