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數(shù)學(xué)教案－一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課

時間：2022-08-17 00:03:37 八年級數(shù)學(xué)教案我要投稿

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課題：一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課

數(shù)學(xué)教案－一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課

【教學(xué)目的】精選學(xué)生在解一元二次方程有關(guān)問題時出現(xiàn)的典型錯例加以剖析，幫助學(xué)生找出產(chǎn)生錯誤的原因和糾正錯誤的方法，使學(xué)生在解題時少犯錯誤，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性。

【課前練習(xí)】

1、關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0，當(dāng)a_____時，方程為一元一次方程；當(dāng) a_____時，方程為一元二次方程。

2、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______，當(dāng)△_______時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當(dāng)△_______時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)△________時，方程沒有實數(shù)根。

【典型例題】

例1 下列方程中兩實數(shù)根之和為2的方程是（）

(A) x²+2x+3＝0 (B) x²-2x+3＝0 (c) x²-2x-3＝0 (D) x²+2x+3＝0

錯答： B

正解： C

錯因剖析：由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂＝2，極易誤選B，又考慮到方程有實數(shù)根，故由△可知，方程B無實數(shù)根，方程C合適。

例2 若關(guān)于x的方程x²+2(k+2)x+k²＝0 兩個實數(shù)根之和大于-4，則k的取值范圍是（）

(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜ k＜0 (D) -1≤k＜0

錯解：B

正解：D

錯因剖析：漏掉了方程有實數(shù)根的前提是△≥0

例3（2000廣西中考題）已知關(guān)于x的一元二次方程(1-2k)x²-2 x-1＝0有兩個不相等的實根，求k的取值范圍。

錯解: 由△＝(-2 )²-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

圍是 -1≤k＜2

錯因剖析：漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上，當(dāng)1-2k＝0即k＝時，原方程變?yōu)橐淮畏匠�，不可能有兩個實根。

正解： -1≤k＜2且k≠

例4 （2002山東太原中考題）已知x₁，x₂是關(guān)于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1＝0的兩個實數(shù)根，當(dāng)x₁²+x₂²=15時，求m的值。

錯解：由根與系數(shù)的關(guān)系得

x₁+x₂＝ -（2m+1）, x₁x₂＝m²+1,

∵x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2 x₁x₂

＝[-（2m+1）]²-2（m²+1）

＝2 m²+4 m-1

又∵ x₁²+x₂²=15

∴ 2 m²+4 m-1=15

∴ m₁ ＝ -4 m₂ ＝ 2

錯因剖析：漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當(dāng)m ＝ -4時，方程為x²-7x+17＝0，此時△＝（-7）²-4×17×1＝ -19＜0，方程無實數(shù)根，不符合題意。

正解：m ＝ 2

例5 若關(guān)于 x的方程(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0有實數(shù)根，求m的取值范圍。

錯解：△＝[-2(m+2)]²-4(m²-1) ＝16 m+20

∵ △≥0

∴ 16 m+20≥0，

∴ m≥ -5/4

又 ∵ m²-1≠0，

∴ m≠±1

∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -

錯因剖析：此題只說(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0是關(guān)于未知數(shù)x的方程，而未限定方程的次數(shù)，所以在解題時就必須考慮m²-1＝0和m²-1≠0兩種情況。當(dāng)m²-1＝0時，即m＝±1時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠�，仍有實�?shù)根。

正解：m的取值范圍是m≥-

例6 已知二次方程x²+3 x+a＝0有整數(shù)根，a是非負數(shù)，求方程的整數(shù)根。

錯解：∵方程有整數(shù)根，

∴△＝9-4a＞0，則a＜2.25

又∵a是非負數(shù)，∴a＝1或a＝2

令a＝1，則x＝ -3± ，舍去；令a＝2，則x₁＝ -1、 x₂＝ -2

∴方程的整數(shù)根是x₁＝ -1， x₂＝ -2

錯因剖析：概念模糊。非負整數(shù)應(yīng)包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分，當(dāng)a＝0時，還可以求出方程的另兩個整數(shù)根，x₃＝0， x₄＝ -3

正解：方程的整數(shù)根是x₁＝ -1， x₂＝ -2 ， x₃＝0， x₄＝ -3

【練習(xí)】

練習(xí)1、（01濟南中考題）已知關(guān)于x的方程k²x²+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x₁、x₂。（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由。

解：（1）根據(jù)題意，得△＝(2k-1)²-4 k²＞0 解得k＜