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數(shù)學(xué)教案－分式方程的應(yīng)用
列分式方程解應(yīng)用題
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生能分析題目中的等量關(guān)系，掌握列分式方程解應(yīng)用題的方法和步驟，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；
2.通過列分式方程解應(yīng)用題，滲透方程的思想方法。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：列分式方程解應(yīng)用題.
難點(diǎn)：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程.
教學(xué)過程（www.gymyzhishaji.com）設(shè)計(jì)
一、復(fù)習(xí)
例 解方程：
(1)2x+xx+3=1; (2)15x=2×15 x+12;
(3)2(1x+1x+3)+x－2x+3=1.
解 (1)方程兩邊都乘以x(3+3),去分母，得
2(x+3)+x2=x2+3x,即2x－3x=－6
所以 x=6.
檢驗(yàn)：當(dāng)x=6時(shí)，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
(2)方程兩邊都乘以x(x+12)，約去分母，得
15(x+12)=30x.
解這個(gè)整式方程，得
x=12.
檢驗(yàn)：當(dāng)x=12時(shí),x(x+12)=12(12+12)≠0,所以x=12是原分式方程的根.
(3)整理，得
2x+2x+3+x－2x+3=1,即2x+2+x－2 x+3=1,
即 2x+xx+3=1.
方程兩邊都乘以x(x+3)，去分母，得
2(x+3)+x2=x(x+3),
即 2x+6+x2=x2+3x,
亦即 2x－3x=－6.
解這個(gè)整式方程，得 x=6.
檢驗(yàn)：當(dāng)x=6時(shí)，x(x+3)=6(6+3)≠0，所以x=6是原分式方程的根.
二、新課
例1 一隊(duì)學(xué)生去校外參觀，他們出發(fā)30分鐘時(shí)，學(xué)校要把一個(gè)緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍.若騎車的速度是隊(duì)伍進(jìn)行速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時(shí)離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時(shí)間?
請(qǐng)同學(xué)根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系.
答：騎車行進(jìn)路程=隊(duì)伍行進(jìn)路程=15(千米)；
騎車的速度=步行速度的2倍；
騎車所用的時(shí)間=步行的時(shí)間－0.5小時(shí).
請(qǐng)同學(xué)依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程.
答案：
方法1 設(shè)這名學(xué)生騎車追上隊(duì)伍需x小時(shí)，依題意列方程為
15x=2×15 x+12.
方法2 設(shè)步行速度為x千米／時(shí)，騎車速度為2x千米／時(shí)，依題意列方程為
15x－15 2x=12.
解 由方法1所列出的方程，已在復(fù)習(xí)中解出，下面解由方法2所列出的方程.
方程兩邊都乘以2x，去分母，得
30－15=x，
所以 x=15.
檢驗(yàn)：當(dāng)x=15時(shí)，2x=2×15≠0，所以x=15是原分式方程的根，并且符合題意.
所以騎車追上隊(duì)伍所用的時(shí)間為15千米 30千米／時(shí)=12小時(shí).
答：騎車追上隊(duì)伍所用的時(shí)間為30分鐘.
指出：在例1中我們運(yùn)用了兩個(gè)關(guān)系式，即時(shí)間=距離速度，速度=距離 時(shí)間.
如果設(shè)速度為未知量，那么按時(shí)間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時(shí)間為未知量，那么按
速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方程都是分式方程.
例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期三天完成.現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天?
分析；這是一個(gè)工程問題，在工程問題中有三個(gè)量，工作量設(shè)為s，工作所用時(shí)間設(shè)為t，工作效率設(shè)為m，三個(gè)量之間的關(guān)系是
s=mt,或t=sm，或m=st.
請(qǐng)同學(xué)根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程.
答案：
方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所需天數(shù)，設(shè)為x天，那么乙單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)就是(x+3)天，設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是x1，乙的工作效率是1x+3.依題意，列方程為
2(1x+1x3)+x2－xx+3=1.
指出：工作效率的意義是單位時(shí)間完成的工作量.
方法2 設(shè)規(guī)定日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時(shí)間就是x天，根據(jù)題意列方程
2x+xx+3=1.
方法3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量—甲的工作量=乙的工作量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則可列方程
1－2x=2x+3+x－2x+3.
用方法1～方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了.重點(diǎn)是找等量關(guān)系列方程.
三、課堂練習(xí)
1.甲加工180個(gè)零件所用的時(shí)間，乙可以加工240個(gè)零件，已知甲每小時(shí)比乙少加工5個(gè)零件，求兩人每小時(shí)各加工的零件個(gè)數(shù).
2.A，B兩地相距135千米，有大，小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時(shí)，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知大、小汽車速度的比為2：5，求兩輛汽車的速度.
答案：
1.甲每小時(shí)加工15個(gè)零件，乙每小時(shí)加工20個(gè)零件.
2.大，小汽車的速度分別為18千米／時(shí)和45千米／時(shí).
四、小結(jié)
1.列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點(diǎn)是，解分式方程必須要驗(yàn)根.一方面要看原方程是否有增根，另一方面還要看解出的根是否符合題意.原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去.
2.列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)直接未知數(shù).但有時(shí)可根據(jù)題目特點(diǎn)不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù).在列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)可使解答變得簡捷.例如在課堂練習(xí)中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩輛汽車從A地到達(dá)B地各用的時(shí)間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)，小汽車從A地到B地需用時(shí)間為x小時(shí)，則大汽車從A地到B地需(x+5－12)小時(shí)，依題意，列方程
135 x+5－12：135x=2：5.
解這個(gè)分式方程，運(yùn)算較繁瑣.如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時(shí)間，運(yùn)算就簡便多了.
五、作業(yè)
1.填空：
(1)一件工作甲單獨(dú)做要m小時(shí)完成，乙單獨(dú)做要n小時(shí)完成，如果兩人合做，完成這件工作的時(shí)間是______小時(shí)；
(2)某食堂有米m公斤，原計(jì)劃每天用糧a公斤，現(xiàn)在每天節(jié)約用糧b公斤，則可以比原計(jì)劃多用天數(shù)是______;
(3)把a(bǔ)千克的鹽溶在b千克的水中，那么在m千克這種鹽水中的含鹽量為______千克.
2.列方程解應(yīng)用題.
(1)某工人師傅先后兩次加工零件各1500個(gè)，當(dāng)?shù)诙渭庸r(shí)，他革新了工具，改進(jìn)了操作方法，結(jié)果比第一次少用了18個(gè)小時(shí).已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工時(shí)每小時(shí)加工多少零件?
(2)某人騎自行車比步行每小時(shí)多走8千米，如果他步行12千米所用時(shí)間與騎車行36千米所用的時(shí)間相等，求他步行40千米用多少小時(shí)?
(3)已知輪船在靜水中每小時(shí)行20千米，如果此船在某江中順流航行72千米所用的時(shí)間與逆流航行48千米所用的時(shí)間相同，那么此江水每小時(shí)的流速是多少千米?
(4)A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時(shí)，小汽車比大汽車晚到30分鐘.已知兩車的速度之比是5：2，求兩輛汽車各自的速度.
答案：
1.(1)mn m+n; (2)m a－b－ma; (3)ma a+b.
2.(1)第二次加工時(shí)，每小時(shí)加工125個(gè)零件.
(2)步行40千米所用的時(shí)間為40 4=10(時(shí)).答步行40千米用了10小時(shí).
(3)江水的流速為4千米／時(shí).
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
1.教學(xué)設(shè)計(jì)中，對(duì)于例1，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，找到三個(gè)等量關(guān)系，并用兩種不同的方法列出方程；對(duì)于例2，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，用三種不同的方法列出方程.這種安排，意在啟發(fā)學(xué)生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵(lì)學(xué)生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習(xí)慣.這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維提供了廣闊的空間.
2.教學(xué)設(shè)計(jì)中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用.例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度(或時(shí)間)；例2是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時(shí)間(或工作效率).這些都是運(yùn)用列分式方程求解的典型問題.教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系，以及列方程求解的思路，以促使學(xué)生加深對(duì)模式的主要特征的理解和識(shí)另?別，讓學(xué)生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么.學(xué)生完成課堂練習(xí)和作業(yè)，則是識(shí)別問題類型，能把面對(duì)的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路.
3.通過列分式方程解應(yīng)用題數(shù)學(xué)，滲透了方程的思想方法，從中使學(xué)生認(rèn)識(shí)到方程的思想方法是數(shù)學(xué)中解決問題的一個(gè)銳利武器.方程的思想方法可以用“以假當(dāng)真”和“弄假成真”兩句話形容.如何通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法，假設(shè)所求的量為x，這時(shí)就把它作為一個(gè)實(shí)實(shí)在在的量.通過找等量關(guān)系列方程，此時(shí)是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待，這就是“以假當(dāng)真”.通過解方程求得問題的解，原先假設(shè)的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”.
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