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正多邊形的有關(guān)計算 教案
1．使學(xué)生理解并掌握正多邊形有關(guān)計算的定理；
2．使學(xué)生掌握正多邊形的邊長、半徑、中心角、邊心距、周長和面積的計算方法；
3．使學(xué)生掌握利用解直角三角形去解決正多邊形有關(guān)計算的方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力；
4．通過例題的教學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題并能準(zhǔn)確計算的能力．
把正多邊形的有關(guān)計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形的思想方法和準(zhǔn)確計算的能力．
1．提問：什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？怎樣計算正n邊形中心角的度數(shù)？
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，寫出三角形中邊的關(guān)系、角的關(guān)系、邊角關(guān)系．
3．正n邊形的內(nèi)角和等于多少？如何求出它的每一個內(nèi)角？
根據(jù)正多邊形的定義和多邊形內(nèi)角和定理，學(xué)生很容易得到正n(n≥3)邊形的每個內(nèi)角都等于：
4．作一個正五邊形，作出它的半徑、中心角和邊心距，觀察它們之間有何關(guān)系？(圖1)
由圖1，學(xué)生容易說出：正五邊形的五條半徑把正五邊形分成全等的五個等腰三角形，每條邊上的邊心距又把一個等腰三角形分為兩個全等的直角三角形，并且直角三角形的兩個銳角分別為每個中心角和內(nèi)角的一半．
5．若正多邊形的邊數(shù)為n時，它的邊長、半徑、中心角、邊心距之間的關(guān)系如何呢？怎樣做有關(guān)的計算？這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．(板書課題：正多邊形的有關(guān)計算)
1．提出猜想．
根據(jù)上面第4個問題，引導(dǎo)學(xué)生提出如下猜想：
正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個中全等的直角三角形．
2．證明猜想，形成定理．
引導(dǎo)學(xué)生作出正n邊形的n條半徑(如圖2)易證明這些半徑把正n邊形分成了n個全等的等腰三角形．
再作正n邊形的邊心距，這些邊心距都是相等的．因此得出這些邊心距又把n個等腰三角形分成了2n個直角三角形，這些直角三角形也是全等的，于是可得定理．
定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形．
教師指出：根據(jù)上述定理，正n邊形的有關(guān)計算就可轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．
例如：若正n邊形A1A2A3…An的半徑為R，由圖3可知：
以上各式都可很快推導(dǎo)出來，不需要死記硬背．
例1 已知正六邊形ABCDEF的半徑為R(圖4)，求這個正六邊形的邊長a6、周長P6和面積S6.
引導(dǎo)學(xué)生作出△AOB及Rt△BOG，把問題轉(zhuǎn)化為解Rt△BOG，學(xué)生完成解答已不困難．由學(xué)生口述，教師板書示范．
最后，教師指出：
(1)正六邊形的邊長等于它的半徑，即a6=R．這一結(jié)論很重要，要記住這個特性．
的面積公式有類似之處．
練習(xí)1 已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積．
例2 在一種聯(lián)合收割機(jī)上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形(課本圖7-88)，測得這個正五邊形的邊長是48厘米．求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.l厘米)．
引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形，即把撥禾輪的側(cè)面畫成一個邊長為48厘米的正五邊形，作出相應(yīng)的Rt△OAF(圖5)，解這個直角三角形可得R5和r5．
學(xué)生自己完成解答過程．
例3 已知：正十邊形的半徑為R．
正十邊形的邊長．學(xué)生很可能用前邊推出的公式得出
此結(jié)論雖然成立，但不符合題目要求，應(yīng)重新考慮．
圖6中，AB＝a10，OA＝OB=R．∠AOB＝36°，∠OAB＝∠OBA＝72°．若能作出
∠OBA的平分線，便可得到兩個相似三角形△OAB和△BAM，由此可得到a10與R的關(guān)系式．
證明：學(xué)生口述，教師板演．
過的黃金分割．黃金分割在建筑及工藝設(shè)計上應(yīng)用十分廣泛．
練習(xí)2 (投影打出)
完成下表中正多邊形的計算(把計算結(jié)果填入表中)：
練習(xí)3
用代數(shù)式表示邊長為2a的正十邊形的面積．
(引導(dǎo)學(xué)生利用例3的結(jié)論解題)
解：如圖7，OA=OB=R10，
AB=a10=2a，OH=r10．
提出問題，讓學(xué)生自己小結(jié)．
1．本節(jié)定理的主要內(nèi)容是什么？
2．怎樣解決正多邊形的有關(guān)計算問題？
3．學(xué)習(xí)了哪些主要的數(shù)學(xué)思想方法？
在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師歸納總結(jié)：
1．正多邊形有關(guān)計算的定理告訴我們，可以把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，并且把正多邊形的各元素集中地反映在這些直角三角形中．
2．關(guān)于正多邊形的有關(guān)計算問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決．
3．滲透了化歸的思想.
課本中相關(guān)習(xí)題
這份教案為兩課時，教學(xué)內(nèi)容的選擇和板書安排可根據(jù)實(shí)際情況而定．
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