正多邊形的有關計算 教案

　　1．使學生理解并掌握正多邊形有關計算的定理；

　　2．使學生掌握正多邊形的邊長、半徑、中心角、邊心距、周長和面積的計算方法；

　　3．使學生掌握利用解直角三角形去解決正多邊形有關計算的方法，培養(yǎng)和提高學生的分析問題和解決問題的能力；

　　4．通過例題的教學，訓練學生把實際問題抽象為數(shù)學問題并能準確計算的能力．

　　把正多邊形的有關計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形的思想方法和準確計算的能力．

　　　　1．提問：什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？怎樣計算正n邊形中心角的度數(shù)？

　　2．在Rt△ABC中，∠C=90°，寫出三角形中邊的關系、角的關系、邊角關系．

　　3．正n邊形的內(nèi)角和等于多少？如何求出它的每一個內(nèi)角？

　　根據(jù)正多邊形的定義和多邊形內(nèi)角和定理，學生很容易得到正n(n≥3)邊形的每個內(nèi)角都等于：

　　4．作一個正五邊形，作出它的半徑、中心角和邊心距，觀察它們之間有何關系？(圖1)

　　由圖1，學生容易說出：正五邊形的五條半徑把正五邊形分成全等的五個等腰三角形，每條邊上的邊心距又把一個等腰三角形分為兩個全等的直角三角形，并且直角三角形的兩個銳角分別為每個中心角和內(nèi)角的一半．

　　5．若正多邊形的邊數(shù)為n時，它的邊長、半徑、中心角、邊心距之間的關系如何呢？怎樣做有關的計算？這就是我們這節(jié)課要學習的內(nèi)容．(板書課題：正多邊形的有關計算)

　　1．提出猜想．

　　根據(jù)上面第4個問題，引導學生提出如下猜想：

　　正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個中全等的直角三角形．

　　2．證明猜想，形成定理．

　　引導學生作出正n邊形的n條半徑(如圖2)易證明這些半徑把正n邊形分成了n個全等的等腰三角形．

　　再作正n邊形的邊心距，這些邊心距都是相等的．因此得出這些邊心距又把n個等腰三角形分成了2n個直角三角形，這些直角三角形也是全等的，于是可得定理．

　　定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形．

　　教師指出：根據(jù)上述定理，正n邊形的有關計算就可轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．

　　例如：若正n邊形A₁A₂A₃…An的半徑為R，由圖3可知：

　　
　　　

　　以上各式都可很快推導出來，不需要死記硬背．

　　例1 已知正六邊形ABCDEF的半徑為R(圖4)，求這個正六邊形的邊長a₆、周長P₆和面積S₆.

　　引導學生作出△AOB及Rt△BOG，把問題轉(zhuǎn)化為解Rt△BOG，學生完成解答已不困難．由學生口述，教師板書示范．

　　最后，教師指出：

　　(1)正六邊形的邊長等于它的半徑，即a₆=R．這一結(jié)論很重要，要記住這個特性．

　　的面積公式有類似之處．

　　練習1 已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積．

　　例2 在一種聯(lián)合收割機上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形(課本圖7-88)，測得這個正五邊形的邊長是48厘米．求它的半徑R₅和邊心距r₅(精確到0.l厘米)．

　　引導學生從實際問題中抽象出幾何圖形，即把撥禾輪的側(cè)面畫成一個邊長為48厘米的正五邊形，作出相應的Rt△OAF(圖5)，解這個直角三角形可得R₅和r₅．

　　學生自己完成解答過程．

　　例3 已知：正十邊形的半徑為R．

　　
　　正十邊形的邊長．學生很可能用前邊推出的公式得出

　　此結(jié)論雖然成立，但不符合題目要求，應重新考慮．

　　
圖6中，AB＝a₁₀，OA＝OB=R．∠AOB＝36°，∠OAB＝∠OBA＝72°．若能作出

　　∠OBA的平分線，便可得到兩個相似三角形△OAB和△BAM，由此可得到a₁₀與R的關系式．

　　證明：學生口述，教師板演．

　　過的黃金分割．黃金分割在建筑及工藝設計上應用十分廣泛．

　　練習2 (投影打出)

　　完成下表中正多邊形的計算(把計算結(jié)果填入表中)：

　　練習3

　　用代數(shù)式表示邊長為2a的正十邊形的面積．

　　(引導學生利用例3的結(jié)論解題)

　　解：如圖7，OA=OB=R₁₀，

　　AB=a₁₀=2a，OH=r₁₀．

　　

　　提出問題，讓學生自己小結(jié)．

　　1．本節(jié)定理的主要內(nèi)容是什么？

　　2．怎樣解決正多邊形的有關計算問題？

　　3．學習了哪些主要的數(shù)學思想方法？

　　在學生回答的基礎上，教師歸納總結(jié)：

　　1．正多邊形有關計算的定理告訴我們，可以把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，并且把正多邊形的各元素集中地反映在這些直角三角形中．

　　2．關于正多邊形的有關計算問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題來解決．

　　3．滲透了化歸的思想.

　　課本中相關習題

　　這份教案為兩課時，教學內(nèi)容的選擇和板書安排可根據(jù)實際情況而定．

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