角的度量
教學建議
一、知識結構
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是角度計算中的進位制問題、互余與互補的概念；難點是互余與互補概念的理解和應用．熟練掌握角的度量的相關知識可以為進一步研究相交線、平行線打下基礎．
1．度、分、秒的互換：如果一個角比1°還小，那么怎樣度量它的大小？為了更精密地度量角．我們把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分記作1'；又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒記作1''．即1°＝60'，1'＝60''．這表明角的度、分、秒是60進制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的．例如：∠α的度數(shù)是32度48分51秒．記作∠α＝32°48'51''．除法過程中，要注意度、分、秒是六十進制的，要把度的余數(shù)乘以60化為分，繼續(xù)除得精確到分，把分的余數(shù)乘以60化為秒，繼續(xù)除得精確到秒的近似值．
2．若兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角，若兩個角的和是一個平角，這兩個角叫做互為補角．理解這兩個概念，要把握以下幾點：（1）必須具備兩個角；（2）兩個角的和是一個定值：互余兩角的和是 ，互補兩角的和是 ；（3）與兩個角的位置無關，只考慮兩角間的數(shù)量關系．
3．結合小學已經學過的概念，說明小于平角的角可以按照大小分成三類．分類的思想對于科學研究比較重要．要按照某種特征進行分類，例如按照大小、按照輕重，等等．分類要不重不漏．就是說，在把一群事物分類時，要使其中的每一事物都歸入某一類，不能無類可歸（不漏），并且只歸入某一類，不能既歸入這一類，又歸入另一類或另幾類（不重）．這里只是初步滲透分類的思想，以后還要遇到分類，如三角形的分類．
三、教法建議
1．本節(jié)的教學內容中，對分類的數(shù)學思想加強了要求，由于分類的思想不是第一次出現(xiàn)，因此，可以簡單進行小結，使得學生能夠加深認識．使學生自己能對一些事物進行分類．
2．在角的內容中，對角的進位制要加以重視，因為這是與十進制不同的進制，以后由于不同的需要還會遇到不同的進制，在這里講清楚后，以后再遇到，就會感到自然了．同時對于60這個數(shù)的特點進行分析，使學生對角的一些運算能很靈活．
3．角的單位中的大、小單位的互化比課本的要求要高，應該盡可能的掌握．
4．本節(jié)在對學生活動的安排上，時間可多一些，教師也可以根據(jù)情況酌情安排．在安排學生自己出題時，應多加鼓勵，盡量用學生自己出的題．目的是調動學生學習的積極性．
教學設計示例
一、素質教育目標
�。ㄒ唬┲R教學點
1．理解互為余角、互為補角的定義．
2．掌握有關補角和余角的性質．
3．應用以上知識點解決有關計算和簡單推理問題．
�。ǘ┠芰τ柧汓c
1．通過例3的講解，培養(yǎng)學生用代數(shù)方法解幾何問題的思路．
2．通過有關余角、補角性質的推導，初步培養(yǎng)學生邏輯思維和推理能力．
�。ㄈ┑掠凉B透點
通過互余、互補角性質的推導，說明事物之間具有普遍的聯(lián)系性．
�。ㄋ模┟烙凉B透點
通過互余、互補的演示，使學全體會幾何圖形的動態(tài)美，通過性質的推導，使學生初步領略幾何邏輯推理的嚴密美．
二、學法引導
1．教師教法：引導發(fā)現(xiàn)、嘗試指導相結合．
2．學生學法：學生積極參與，動手動腦，與主動發(fā)現(xiàn)相結合；
三、重點·難點·疑點及解決辦法
�。ㄒ唬┲攸c
互為余角、互為補角的角的概念及有關余角、補角的性質．
�。ǘ╇y點
有關余角和有關補角性質的推導．
�。ㄈ┮牲c
互余、互補的兩個角圖形的位置關系．
（四）解決辦法
對重點、難點，應巧妙引導學生去發(fā)現(xiàn)，通過動手、動腦解決問題．
對疑點，由學生思考并討論，互相敘述“為什么”并相互糾正，同時，由教師進行邏輯點撥．
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀或電腦、三角板、自制膠片．
六、師生互動活動設計
1．通過教師演示，學生活動的方法創(chuàng)設情境，引出課題．
2．通過學生討論，歸納總結出互余、互補的定義，并通過兩個練習對定義加以鞏固．
3．通過教師出示問題，學生思考并相互敘述，最后教師加以點撥的方法完成第一個性質的邏輯推理，其他性質由教師出示問題，學生模仿完成，最后學生做反饋練習．
4．通過教師提問、學生回答完成圖表的方法進行本節(jié)課的小結．
七、教學步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標
正確理解互余、互補的定義并掌握其性質，并能運用進行簡單的計算和推理．
�。ǘ┱w感知
通過教師演示和指導，學生動手動腦參與，順利地使學生理解和掌握互余、互補的定義和性質，并通過對圖形的識別和性質的理解，完成一些簡單的計算和推理．
�。ㄈ┙虒W過程
創(chuàng)設情境，引入課題
師：上節(jié)課，我們學習了度量，認識了平角和直角，請同學們在練習本上畫出一個平角和一個直角，并標明其度數(shù)．
學生畫圖形的同時，投影顯示以下圖形，見圖1及圖2：
圖1 圖2
教師演示：在以上兩個圖形的基礎上，利用電腦（或投影），分別過兩個角的頂點作活動射線 ，任意改變射線位置，讓學生觀察，如下圖1及圖2：
圖1 圖2
學生活動：過自己所畫兩個角的頂點，任意作射線 ，同時觀察老師演示．
提出問題：射線 把平角 ，直角 分別分成了幾個角？它們的度數(shù)關系如何？
（學生容易答出：分成兩個角， ， ．）
教師演示：把射線 固定一個位置不動，然后把兩個圖形中的角保持大小不變，拉開，如圖1及圖2（或拉開更遠些，多變換幾種位置）．
圖1 圖2
提出問題： 與 的和還是 嗎？ 與 的和還是 嗎？
學生活動：觀察教師演示過程中的圖形變換，同桌可相互討論，回答教師提出的問題．
【教法說明】 與 ， 與 位置變換，前提是其大小不變．改變位置關系目的是：避免提出互補、互余角的概念后，學生誤認為只有有公共頂點且和為 ， 的兩個角才是互補、互余的角．
根據(jù)學生回答，教師肯定結論：
不論 、 、 、 的位置關系如何變化，只要大小不變， 與 的和永遠是平角， 與 的和永遠是直角．像這樣具有特殊關系的角，我們分別叫它們互為補角和互為余角．這就是我們要學習的角的度量一節(jié)中又一新知識．（板書課題）
�。郯鍟�1.6 角的度量
【教法說明】 注重學生的參與意識，要讓學生手腦并動，通過不斷演示，學生觀察，教師逐步提出問題，讓學生養(yǎng)成自己發(fā)現(xiàn)問題，并沒法解決問題的良好習慣．
探究新知
1．互為余角、互為補角的定義
提出問題：你能根據(jù)前面老師的演示和說明，敘述一下具有什么關系的兩個角叫互為余角和互為補角嗎？
學生活動：同桌相互討論，互相糾正和補充，找學生口述．
【教法說明】通過學生親自動手畫圖，觀察老師的演示，對互余、互補角概念的理解，可以說已經水到渠成．教師不必包辦代替，要讓學生自己總結歸納，以訓練其歸納總結及口頭表達能力．
教師根據(jù)學生回答，給予肯定后給出答案：
［板書］
互為余角：如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫互為余角．其中一個角叫做另一個角的余角．
直為補角：如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫互為補角．其中一個角叫做另一個角的補角．
2．提出問題，理解定義．（投影顯示）
�。�1）以上定義中的“互為”是什么意思？
（2）若 ，那么 互為補角嗎？
（3）互為余角、互為補角的兩個角是否一定有公共頂點？
學生討論以上三個問題．
【教法說明】對定義的理解，提出的三個問題很關鍵，讓學生討論發(fā)表自己的見解，比教師單純強調“注意”效果要好得多，同時也培養(yǎng)學生全面分析、考慮問題的能力．
通過學生回答，教師對以上三個問題給予肯定或否定．
反饋練習：投影顯示
1．若 與 互補，則 ，若 與 互余，
2． 角的余角為 ，補角為 ， 的余角為 ．補角為 ．
3．如圖1： 是直線 上一點， 是 的平分線，
圖1
① 的補角是____________
�、� 的余角是____________
�、� 的補角是____________
【教法說明】第l、2兩題可由學生搶答，這兩題是為以下例3做鋪墊的．第1題實質上也是把定義的文字語言轉化成幾何語言，強調反之也成立．通過第3題要培養(yǎng)學生的識圖能力．
2．有關互余、互補角的性質
師：通過以上練習，我們對互余、互補角的概念有了較深刻的理解，下面我們提出一個新問題，看你們能否解決．
投影出示：
例4 與 互補， 與 互補，若 ，那么 和 相等嗎？為什么？
【教法說明】學生思考并討論，同桌互相敘述“為什么”講相互糾正．有時學生間的交流比師生對話效果會更好．
找學生試述“為什么”，估計邏輯性不會太強，教師可加以點撥：解決幾何問題往往要從已知入手，聯(lián)想出結論：如由 與 互補你想到什么結論？（ ） 與 互補呢？（ ）．因為要比較的是 與 的大小，以上兩式可表示為： ， ．已知中 ，則 一定等于 ．
教師邊引導學生敘述邊板書出較規(guī)范的格式：
�。郯鍟�
∵ 與 互補，∴ 即 ．
∵ 與 互補，∴ 即 ．
∵ ，∴ ．
【教法說明】此問題中的“為什么”實際上是幾何中的推理問題，要有嚴密的邏輯性．學生第一次接觸，因此，“放”可以，而且必須“收”．教師引導由已知產生聯(lián)想，一環(huán)緊扣一環(huán)，寫出推理過程，滲透“∵ ∴”的書寫格式．
提出問題：通過以上題目，你是否發(fā)現(xiàn)了兩個等角的補角間有怎樣的關系？你能試著總結嗎？
【教法說明】由學生發(fā)現(xiàn)性質，并歸納總結，培養(yǎng)學生由具體題日抽象出幾何命題的能力和語言表達能力．學會由具體到抽象考慮問題的方法．
學生活動：同桌討論，并互相敘述總結規(guī)律．
教師對學生回答進行糾正、整理后板書，并給出符號語言，強調此性質的應用．
�。郯鍟萃腔虻冉堑难a角相等．∵ ， ，∴ ．
提出問題： 與 互余， 與 互余，若 ，那么 等于 嗎？為什么？你由此問題又能得出什么結論？
學生活動：教師不給任何提示的情況下，在練習本上仿照例4的格式，寫出“為什么”及得出的結論．
教師找同學回答后板書．
�。郯鍟萃腔虻冉堑挠嘟窍嗟龋� ， ，∴ ．
師：有關余角和補角的性質很有用，以后遇到有同角（或等角）的補角就可以根據(jù)這個性質，知道它們都相等．
反饋練習：投影顯示
圖1
1．見圖1，若 與 互余， 與 互余，
則______＝______根據(jù)是：________
圖2
2．見圖2，若 與 互補， 與 互補，
則______＝_______根據(jù)是：_________
圖3
3．如圖3， 是直線 上的一點， 平分 ， ，則
【教法說明】第1、2兩題主要強調互余、互補角性質的應用，設計成活動膠片（或電腦課件）把圖中的角多變換幾個位置．第2題中當拼成兩相交線時為下一步學習對頂角相等做準備．第3題可以找 、 的余角有幾個，把題再拓寬些．
�。ㄋ模┛偨Y、擴展
以提問的形式列出下表
互余的角
互補的角
數(shù)量關系
對應圖形
性質
同角或等角的余角相等
同角或等角的補角相等
思考題（投影出示）
1．銳角的余角一定是銳角嗎？
2．一個銳角和一個鈍角一定互為補角嗎？
3．一個角的補角比這個角的余角大多少度？
4．相等且互補的兩個角各是多少度？
5．一個角的補角一定比這個角大嗎？
【教法說明】小結后由學生看書，讓學生提出問題，學生提出以上問題，則發(fā)動同學們討論，沒提出以上問題教師再提出，由學生討論．
八、布置作業(yè)
課本第38頁練習第1、2題．
作業(yè)答案
1．較大角是 ，比薩斜塔傾斜了 ．
2． 的補角是 ，余角是 ．
九、板書設計
1.6 角的度量
1．定義
如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角．
如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角互為余角．
2．性質
同角或等角的補角相等．
同角或等角的余角相等．
例3 解：_______________
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（練習板演）______________
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練習
解：_______________
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