角的度量
教學建議
一、知識結構
二、重點、難點分析
本節(jié)教學的重點是角度計算中的進位制問題、互余與互補的概念;難點是互余與互補概念的理解和應用.熟練掌握角的度量的相關知識可以為進一步研究相交線、平行線打下基礎.
1.度、分、秒的互換:如果一個角比1°還小,那么怎樣度量它的大小?為了更精密地度量角.我們把1°的角60等份,每一份叫做1分的角,1分記作1';又把1'的角60等份,每一份叫做1秒的角,1秒記作1''.即1°=60',1'=60''.這表明角的度、分、秒是60進制的,這和計量時間的時、分、秒是一樣的.例如:∠α的度數(shù)是32度48分51秒.記作∠α=32°48'51''.除法過程中,要注意度、分、秒是六十進制的,要把度的余數(shù)乘以60化為分,繼續(xù)除得精確到分,把分的余數(shù)乘以60化為秒,繼續(xù)除得精確到秒的近似值.
2.若兩個角的和是一個直角,這兩個角叫做互為余角,若兩個角的和是一個平角,這兩個角叫做互為補角.理解這兩個概念,要把握以下幾點:(1)必須具備兩個角;(2)兩個角的和是一個定值:互余兩角的和是 ,互補兩角的和是 ;(3)與兩個角的位置無關,只考慮兩角間的數(shù)量關系.
3.結合小學已經學過的概念,說明小于平角的角可以按照大小分成三類.分類的思想對于科學研究比較重要.要按照某種特征進行分類,例如按照大小、按照輕重,等等.分類要不重不漏.就是說,在把一群事物分類時,要使其中的每一事物都歸入某一類,不能無類可歸(不漏),并且只歸入某一類,不能既歸入這一類,又歸入另一類或另幾類(不重).這里只是初步滲透分類的思想,以后還要遇到分類,如三角形的分類.
三、教法建議
1.本節(jié)的教學內容中,對分類的數(shù)學思想加強了要求,由于分類的思想不是第一次出現(xiàn),因此,可以簡單進行小結,使得學生能夠加深認識.使學生自己能對一些事物進行分類.
2.在角的內容中,對角的進位制要加以重視,因為這是與十進制不同的進制,以后由于不同的需要還會遇到不同的進制,在這里講清楚后,以后再遇到,就會感到自然了.同時對于60這個數(shù)的特點進行分析,使學生對角的一些運算能很靈活.
3.角的單位中的大、小單位的互化比課本的要求要高,應該盡可能的掌握.
4.本節(jié)在對學生活動的安排上,時間可多一些,教師也可以根據(jù)情況酌情安排.在安排學生自己出題時,應多加鼓勵,盡量用學生自己出的題.目的是調動學生學習的積極性.
教學設計示例
一、素質教育目標
。ㄒ唬┲R教學點
1.理解互為余角、互為補角的定義.
2.掌握有關補角和余角的性質.
3.應用以上知識點解決有關計算和簡單推理問題.
。ǘ┠芰τ柧汓c
1.通過例3的講解,培養(yǎng)學生用代數(shù)方法解幾何問題的思路.
2.通過有關余角、補角性質的推導,初步培養(yǎng)學生邏輯思維和推理能力.
。ㄈ┑掠凉B透點
通過互余、互補角性質的推導,說明事物之間具有普遍的聯(lián)系性.
。ㄋ模┟烙凉B透點
通過互余、互補的演示,使學全體會幾何圖形的動態(tài)美,通過性質的推導,使學生初步領略幾何邏輯推理的嚴密美.
二、學法引導
1.教師教法:引導發(fā)現(xiàn)、嘗試指導相結合.
2.學生學法:學生積極參與,動手動腦,與主動發(fā)現(xiàn)相結合;
三、重點·難點·疑點及解決辦法
。ㄒ唬┲攸c
互為余角、互為補角的角的概念及有關余角、補角的性質.
。ǘ╇y點
有關余角和有關補角性質的推導.
。ㄈ┮牲c
互余、互補的兩個角圖形的位置關系.
(四)解決辦法
對重點、難點,應巧妙引導學生去發(fā)現(xiàn),通過動手、動腦解決問題.
對疑點,由學生思考并討論,互相敘述“為什么”并相互糾正,同時,由教師進行邏輯點撥.
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀或電腦、三角板、自制膠片.
六、師生互動活動設計
1.通過教師演示,學生活動的方法創(chuàng)設情境,引出課題.
2.通過學生討論,歸納總結出互余、互補的定義,并通過兩個練習對定義加以鞏固.
3.通過教師出示問題,學生思考并相互敘述,最后教師加以點撥的方法完成第一個性質的邏輯推理,其他性質由教師出示問題,學生模仿完成,最后學生做反饋練習.
4.通過教師提問、學生回答完成圖表的方法進行本節(jié)課的小結.
七、教學步驟
。ㄒ唬┟鞔_目標
正確理解互余、互補的定義并掌握其性質,并能運用進行簡單的計算和推理.
。ǘ┱w感知
通過教師演示和指導,學生動手動腦參與,順利地使學生理解和掌握互余、互補的定義和性質,并通過對圖形的識別和性質的理解,完成一些簡單的計算和推理.
。ㄈ┙虒W過程
創(chuàng)設情境,引入課題
師:上節(jié)課,我們學習了度量,認識了平角和直角,請同學們在練習本上畫出一個平角和一個直角,并標明其度數(shù).
學生畫圖形的同時,投影顯示以下圖形,見圖1及圖2:
圖1 圖2
教師演示:在以上兩個圖形的基礎上,利用電腦(或投影),分別過兩個角的頂點作活動射線 ,任意改變射線位置,讓學生觀察,如下圖1及圖2:
圖1 圖2
學生活動:過自己所畫兩個角的頂點,任意作射線 ,同時觀察老師演示.
提出問題:射線 把平角 ,直角 分別分成了幾個角?它們的度數(shù)關系如何?
(學生容易答出:分成兩個角, , .)
教師演示:把射線 固定一個位置不動,然后把兩個圖形中的角保持大小不變,拉開,如圖1及圖2(或拉開更遠些,多變換幾種位置).
圖1 圖2
提出問題: 與 的和還是 嗎? 與 的和還是 嗎?
學生活動:觀察教師演示過程中的圖形變換,同桌可相互討論,回答教師提出的問題.
【教法說明】 與 , 與 位置變換,前提是其大小不變.改變位置關系目的是:避免提出互補、互余角的概念后,學生誤認為只有有公共頂點且和為 , 的兩個角才是互補、互余的角.
根據(jù)學生回答,教師肯定結論:
不論 、 、 、 的位置關系如何變化,只要大小不變, 與 的和永遠是平角, 與 的和永遠是直角.像這樣具有特殊關系的角,我們分別叫它們互為補角和互為余角.這就是我們要學習的角的度量一節(jié)中又一新知識.(板書課題)
。郯鍟1.6 角的度量
【教法說明】 注重學生的參與意識,要讓學生手腦并動,通過不斷演示,學生觀察,教師逐步提出問題,讓學生養(yǎng)成自己發(fā)現(xiàn)問題,并沒法解決問題的良好習慣.
探究新知
1.互為余角、互為補角的定義
提出問題:你能根據(jù)前面老師的演示和說明,敘述一下具有什么關系的兩個角叫互為余角和互為補角嗎?
學生活動:同桌相互討論,互相糾正和補充,找學生口述.
【教法說明】通過學生親自動手畫圖,觀察老師的演示,對互余、互補角概念的理解,可以說已經水到渠成.教師不必包辦代替,要讓學生自己總結歸納,以訓練其歸納總結及口頭表達能力.
教師根據(jù)學生回答,給予肯定后給出答案:
[板書]
互為余角:如果兩個角的和是一個直角,那么這兩個角叫互為余角.其中一個角叫做另一個角的余角.
直為補角:如果兩個角的和是一個平角,那么這兩個角叫互為補角.其中一個角叫做另一個角的補角.
2.提出問題,理解定義.(投影顯示)
。1)以上定義中的“互為”是什么意思?
(2)若 ,那么 互為補角嗎?
(3)互為余角、互為補角的兩個角是否一定有公共頂點?
學生討論以上三個問題.
【教法說明】對定義的理解,提出的三個問題很關鍵,讓學生討論發(fā)表自己的見解,比教師單純強調“注意”效果要好得多,同時也培養(yǎng)學生全面分析、考慮問題的能力.
通過學生回答,教師對以上三個問題給予肯定或否定.
反饋練習:投影顯示
1.若 與 互補,則 ,若 與 互余,
2. 角的余角為 ,補角為 , 的余角為 .補角為 .
3.如圖1: 是直線 上一點, 是 的平分線,
圖1
① 的補角是____________
、 的余角是____________
、 的補角是____________
【教法說明】第l、2兩題可由學生搶答,這兩題是為以下例3做鋪墊的.第1題實質上也是把定義的文字語言轉化成幾何語言,強調反之也成立.通過第3題要培養(yǎng)學生的識圖能力.
2.有關互余、互補角的性質
師:通過以上練習,我們對互余、互補角的概念有了較深刻的理解,下面我們提出一個新問題,看你們能否解決.
投影出示:
例4 與 互補, 與 互補,若 ,那么 和 相等嗎?為什么?
【教法說明】學生思考并討論,同桌互相敘述“為什么”講相互糾正.有時學生間的交流比師生對話效果會更好.
找學生試述“為什么”,估計邏輯性不會太強,教師可加以點撥:解決幾何問題往往要從已知入手,聯(lián)想出結論:如由 與 互補你想到什么結論?( ) 與 互補呢?( ).因為要比較的是 與 的大小,以上兩式可表示為: , .已知中 ,則 一定等于 .
教師邊引導學生敘述邊板書出較規(guī)范的格式:
。郯鍟
∵ 與 互補,∴ 即 .
∵ 與 互補,∴ 即 .
∵ ,∴ .
【教法說明】此問題中的“為什么”實際上是幾何中的推理問題,要有嚴密的邏輯性.學生第一次接觸,因此,“放”可以,而且必須“收”.教師引導由已知產生聯(lián)想,一環(huán)緊扣一環(huán),寫出推理過程,滲透“∵ ∴”的書寫格式.
提出問題:通過以上題目,你是否發(fā)現(xiàn)了兩個等角的補角間有怎樣的關系?你能試著總結嗎?
【教法說明】由學生發(fā)現(xiàn)性質,并歸納總結,培養(yǎng)學生由具體題日抽象出幾何命題的能力和語言表達能力.學會由具體到抽象考慮問題的方法.
學生活動:同桌討論,并互相敘述總結規(guī)律.
教師對學生回答進行糾正、整理后板書,并給出符號語言,強調此性質的應用.
。郯鍟萃腔虻冉堑难a角相等.∵ , ,∴ .
提出問題: 與 互余, 與 互余,若 ,那么 等于 嗎?為什么?你由此問題又能得出什么結論?
學生活動:教師不給任何提示的情況下,在練習本上仿照例4的格式,寫出“為什么”及得出的結論.
教師找同學回答后板書.
。郯鍟萃腔虻冉堑挠嘟窍嗟龋 , ,∴ .
師:有關余角和補角的性質很有用,以后遇到有同角(或等角)的補角就可以根據(jù)這個性質,知道它們都相等.
反饋練習:投影顯示
圖1
1.見圖1,若 與 互余, 與 互余,
則______=______根據(jù)是:________
圖2
2.見圖2,若 與 互補, 與 互補,
則______=_______根據(jù)是:_________
圖3
3.如圖3, 是直線 上的一點, 平分 , ,則
【教法說明】第1、2兩題主要強調互余、互補角性質的應用,設計成活動膠片(或電腦課件)把圖中的角多變換幾個位置.第2題中當拼成兩相交線時為下一步學習對頂角相等做準備.第3題可以找 、 的余角有幾個,把題再拓寬些.
。ㄋ模┛偨Y、擴展
以提問的形式列出下表
互余的角
互補的角
數(shù)量關系
對應圖形
性質
同角或等角的余角相等
同角或等角的補角相等
思考題(投影出示)
1.銳角的余角一定是銳角嗎?
2.一個銳角和一個鈍角一定互為補角嗎?
3.一個角的補角比這個角的余角大多少度?
4.相等且互補的兩個角各是多少度?
5.一個角的補角一定比這個角大嗎?
【教法說明】小結后由學生看書,讓學生提出問題,學生提出以上問題,則發(fā)動同學們討論,沒提出以上問題教師再提出,由學生討論.
八、布置作業(yè)
課本第38頁練習第1、2題.
作業(yè)答案
1.較大角是 ,比薩斜塔傾斜了 .
2. 的補角是 ,余角是 .
九、板書設計
1.6 角的度量
1.定義
如果兩個角的和是一個平角,那么這兩個角互為補角.
如果兩個角的和是一個直角,那么這兩個角互為余角.
2.性質
同角或等角的補角相等.
同角或等角的余角相等.
例3 解:_______________
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(練習板演)______________
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練習
解:_______________
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