三元一次方程組的解法舉例

教學(xué)建議

　　一、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是掌握三元一次方程組的解法，教學(xué)難點(diǎn)是解法的靈活運(yùn)用．能夠熟練的解三元一次方程組是進(jìn)一步學(xué)習(xí)一次方程組的應(yīng)用，以及一次不等式組的解法的基礎(chǔ)．

　　1．方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，這樣的方程組就是三元一次方程組．

　　2．三元一次方程組的解法仍是用代入法或加減法消元，即通過(guò)消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程．

　　3．如何消元，首先要認(rèn)真觀察方程組中各方程系數(shù)的特點(diǎn)，然后選擇最好的解法．

　　4．有些特殊方程組，可用特殊的消元方法，有時(shí)一下子可消去兩個(gè)未知數(shù)，直接求出一個(gè)未知數(shù)值來(lái)．

　　5．解一次方程組的消元“轉(zhuǎn)化”基本思想，可以推廣到“四元”、“五元”等多元方程組，這是今后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．

　　二、知識(shí)結(jié)構(gòu)

 

　　三、教法建議

　　1. 解三元一次方程組時(shí)，由于方程較多，學(xué)生容易出錯(cuò)．因此，應(yīng)提醒學(xué)生注意，在消去一個(gè)未知數(shù)得出比原方程組少一個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組的過(guò)程中，原方程組的每一個(gè)方程一般都至少要用到一次．

　　2. 消元時(shí)，先要考慮好消去哪一個(gè)未知數(shù)．開(kāi)始練習(xí)時(shí)，可以先把要消去的未知數(shù)寫(xiě)出來(lái)（如教科書(shū)在分析中所寫(xiě)的那樣），然后再進(jìn)行消元．

　　在例2中，如果先確定消去 ，那么這三個(gè)方程兩兩分組的方法有3種；①與②，①與③，②與③．我們可以從中任選2種消去 ．這里特別要注意選定2種后，必須消去同一個(gè)未知數(shù)．如果違背了這一點(diǎn)，所得的兩個(gè)新方程雖然各含兩個(gè)未知數(shù)，但由它們組成的方程組仍然含有三個(gè)未知數(shù)，這在實(shí)際上沒(méi)有消元．

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　一、素質(zhì)教育目標(biāo)

　�。ㄒ唬┲�識(shí)教學(xué)點(diǎn)

　　1．知道什么是三元一次方程．

　　2．會(huì)解某個(gè)方程只有兩元的簡(jiǎn)單的三元一次方程組．

　　3．掌握解三元一次方程組過(guò)程中化三元為二元或一元的思路．

　　（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

　　1．培養(yǎng)學(xué)生分析能力，能根據(jù)題目的特點(diǎn)，確定消元方法、消元對(duì)象．

　　2．培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力、訓(xùn)練解題技巧．

　�。ㄈ�）德育滲透點(diǎn)

　　滲透“消元”的思想，設(shè)法把未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知．

　�。ㄋ模┟烙凉B透點(diǎn)

　　通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，滲透方程恒等變形的數(shù)學(xué)美，以及方程組解的奇異美．

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　1．教學(xué)方法：觀察法、討論法、練習(xí)法．

　　2．學(xué)生學(xué)法：三元一次方程組比二元一次方程組要復(fù)雜些，有些題的解法技巧性較強(qiáng)，因此在解題前必須認(rèn)真觀察方程組中各個(gè)方程的系數(shù)特點(diǎn)，選擇好先消去的“元”，這是決定解題過(guò)程繁簡(jiǎn)的關(guān)鍵．一般來(lái)說(shuō)應(yīng)先消去系數(shù)最簡(jiǎn)單的未知數(shù)．

　　三、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法

　　（一）重點(diǎn)

　　使學(xué)生會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組，經(jīng)過(guò)本課教學(xué)進(jìn)一步熟悉解方程組時(shí)“消元”的基本思想和靈活運(yùn)用代入法、加減法等重要方法．

　�。ǘ�）難點(diǎn)

　　針對(duì)方程組的特點(diǎn)，選擇最好的解法．

　�。ㄈ�）疑點(diǎn)

　　如何進(jìn)行消元．

　　（四）解決辦法

　　加強(qiáng)理解二元及三元一次方程組的解題思想是“消元”，故在求解中為便于計(jì)算應(yīng)選擇系數(shù)較簡(jiǎn)單的未知數(shù)將它消去．

　　四、課時(shí)安排

　　一課時(shí)．

　　五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

　　投影儀、自制膠片．

　　六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

　　1．教師先復(fù)習(xí)解二元一次方程組的解題思想及辦法，讓學(xué)生充分理解方程組的消元思想及方法．

　　2．教師由引例引出三元一次方程組，由學(xué)生思考、討論后解決如何消三元變二元，教師講解、小結(jié)．

　　3．由學(xué)生嘗試，解決例題．

　　4．學(xué)生練習(xí)，教師小結(jié)、講評(píng)．

　　七、教學(xué)步驟

　　（一）明確目標(biāo)

　　本節(jié)課將學(xué)習(xí)如何求三元一次方程組的解．

　�。ǘ�）整體感知

　　通過(guò)復(fù)習(xí)二元一次方程組的解題思想，從而類(lèi)推出三元一次方程組的解題思想及解題方法，讓學(xué)生牢牢抓住利用消元的思想化三元為二元，再化二元為一元的辦法來(lái)求解．

　�。ㄈ�）教學(xué)過(guò)程

　　1．復(fù)習(xí)導(dǎo)入、探索新知

　�。�1）解二元一次方程組的基本方法有哪幾種？（2）解二元一次方程組的基本思想是什么？

　　甲、乙、丙三數(shù)的和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個(gè)數(shù)．

　　題目中有幾個(gè)未知數(shù)？含有幾個(gè)相等關(guān)系?你能根據(jù)題意列出幾個(gè)方程？

　　學(xué)生活動(dòng)：回答問(wèn)題、設(shè)未知數(shù)、列方程．

　　這個(gè)問(wèn)題必須三個(gè)條件都滿(mǎn)足，因此，我們把三個(gè)方程合在一起，寫(xiě)成下面的形式：
　

　　這個(gè)方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組，就是我們要學(xué)的三元一次方程組．

　　怎樣解這個(gè)三元一次方程組呢？你能不能設(shè)法消云一個(gè)或兩個(gè)未知數(shù)，把它化成二元一次方程組或一元一次方程？

　　學(xué)生活動(dòng)：思考、討論后說(shuō)出消元方案．

　　教師對(duì)學(xué)生的回答給予肯定或否定，糾正后說(shuō)出消元方案：依照代入法，由較簡(jiǎn)單的方程②，可得 　④，進(jìn)一步將④分別代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程組．

　　解：由②，得 　　　　④

　　把④代入①，得 　　⑤

　　把④代入③，得 　　�、�

　�、菖c⑥組成方程組

　　解這個(gè)方程組得

　　把 代入④，得

　　∴

　　∴

　　注意：a．得二元一次方程組后，解二元一次方程的過(guò)程在練習(xí)本上完成．

　　b．得 ， 后，求 ，要代入前面最簡(jiǎn)單的方程④．

　　c．檢驗(yàn)．

　　這道題也可以用加減法解，②中不含 ，那么可以考慮將①與③結(jié)合消去，與②組成二元一次方程組．

　　學(xué)生活動(dòng)：在練習(xí)本上用加減法解方程組．

　　【教法說(shuō)明】通過(guò)一題多解，不僅能開(kāi)闊學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的興趣，而且，可以鞏固解方程組時(shí)通過(guò)“消元”把未知轉(zhuǎn)化為已知的基本思想．

　　2．學(xué)生嘗試解決例題

　　例1  解方程組

　　學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立分析、思考，嘗試解題，有的學(xué)生可能用代入法解，有的學(xué)生可能用加減法解，選一個(gè)用加減法解的學(xué)生板演，然后，讓用代入法的學(xué)生比較哪種方法簡(jiǎn)單．

　　解：②×3＋③，得  　　④

　�、倥c④組成方程組

　　解這個(gè)方程組，得

　　把 ， 代入②，得

　　∴

　　∴

　　歸納：這個(gè)方程組的特點(diǎn)是方程①不含 ，而②、③中 的系數(shù)絕對(duì)值成整數(shù)倍關(guān)系，顯然用加減法從②、③中消去 后，再與①組成只含 、 的二元一次方程組的解法最為合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③較繁．

　　【教法說(shuō)明】有了前例的基礎(chǔ)，讓學(xué)生獨(dú)立嘗試解題，可以培養(yǎng)他們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；在解題后歸納題目的特點(diǎn)為，點(diǎn)明消元方法和消元對(duì)象，更有助于學(xué)生探索方法、掌握技巧．

　　3．嘗試反饋，鞏固知識(shí)

　　練習(xí)：P30�。�1）．

　　學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成練習(xí)后，同桌、前后桌之間按不同解法的同學(xué)交換，看哪種方法最簡(jiǎn)單．

　　4．變式訓(xùn)練要，培養(yǎng)能力

　　補(bǔ)例：解方程組

　　學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成．

　　【教法說(shuō)明】此方程組中方程①、③中 、 的系數(shù)完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 ．這道題直接化三元為一元，能使學(xué)生體會(huì)到解法技巧的重要性，覺(jué)得數(shù)學(xué)問(wèn)題真是奧妙無(wú)窮!

　�。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴(kuò)展

　　1．解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？

　　2．解題前要認(rèn)真觀察各方程的系數(shù)特點(diǎn)，選擇最好的解法，當(dāng)方程組中某個(gè)方程只含二元時(shí)，一般的，這個(gè)方程中缺哪個(gè)元，就利用另兩個(gè)方程用加減法消哪個(gè)元；如果這個(gè)二元方程系數(shù)較簡(jiǎn)單，也可以用代入法求解．

　　3．注意檢驗(yàn)．

　　【教法說(shuō)明】這樣總結(jié)，既突出了本課重點(diǎn)，又突出了本節(jié)內(nèi)容中例題、習(xí)題的特點(diǎn)—某個(gè)方程只含兩元，使學(xué)生在以后解題時(shí)有很強(qiáng)的針對(duì)性．

　　八、布置作業(yè)

　�。ㄒ唬┍刈鲱}：P31　　A組1．

　�。ǘ�）選做題：解方程組

　�。ㄈ�）思考題：課本第32頁(yè)“想一想”．

　　【教法說(shuō)明】作業(yè)（一）是為了鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)；作業(yè)（二）有很強(qiáng)的技巧性，可培養(yǎng)學(xué)生興趣；作業(yè)（三）培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

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