第二冊不等式基本性質(zhì)

 

不等式的基本性質(zhì)

劉宏光  （寧夏銀川第二中學(xué)）

 

作者簡歷 

 

劉宏光 廣東揭陽人，19565年畢業(yè)于北京工業(yè)學(xué)院機(jī)械系，1953年任太原機(jī)械制造廠數(shù)學(xué)力學(xué)教師，1986年被授予中學(xué)特級教師，1988年被評為寧夏回族自治區(qū)中學(xué)高級教師。1985年被評為寧夏銀川市優(yōu)秀班主任，1986年獲全國五一勞動獎?wù)�，并被全國總工會授予全國�?yōu)秀教育工作者稱號�，F(xiàn)任寧夏銀川二中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教研組組長。

 

教學(xué)目的

掌握不等式的基本性質(zhì)，會用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行不等式的變形。

 

教學(xué)過程

師：我們已學(xué)過等式，不等式，現(xiàn)在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學(xué)們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一組：1+2=3; a+b=b+a;  S = ab;  4+x = 7.

       第二組：-7 < -5;  3+4 > 1+4;   2x ≤6,  a+2 ≥0; 3≠4.

生：第一組都是等式，第二組都是不等式。

師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等關(guān)系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

師：在數(shù)學(xué)熾，我們用等號“=”來表示相等關(guān)系，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關(guān)系，其中“＞”和“＜”表示大小關(guān)系。表示大小關(guān)系的不等式是我們中學(xué)教學(xué)所要研究的。

前面我們學(xué)過了等式，同學(xué)們還記得等式的性質(zhì)嗎？

生：等式有這樣的性質(zhì)：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數(shù)不為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式。

師：很好！當(dāng)我們開始研究不等式的時候，自然會聯(lián)想到，是否有與等式相類似的性質(zhì)，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經(jīng)（除數(shù)不為零）同一個數(shù)，結(jié)果將會如何呢？讓我們先做一些試驗(yàn)練習(xí)。

練習(xí)1  (回答)用小于號“<”或大于號“>”填空。

（1）7 ___ 4;    （2）- 2____6;     （3）- 3_____ -2；  （4）- 4_____-6

練習(xí)2（口答）分別從練習(xí)1中四個不等式出發(fā)，進(jìn)行下面的運(yùn)算。

（1）兩邊都加上（或都減去）5，結(jié)果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（2）兩邊都乘以（或都除以）5，結(jié)果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

（3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結(jié)果怎樣？不等號的方向改變了嗎？

生：我們發(fā)現(xiàn)：在練習(xí)2中，第（1）、（2）題的結(jié)果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結(jié)果是不等號的方向改變了！

師：同學(xué)們觀察得很認(rèn)真，大家再進(jìn)一步探討一下，在什么情況下不等號的方向就會發(fā)生改變呢？

生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負(fù)數(shù)的情況下，不等號的方向要改變。

師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學(xué)不放心，讓我們再做一些試驗(yàn)。

練習(xí)3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變：

     7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

師：現(xiàn)在我們可以歸納出不等式的基本性質(zhì)，一般地說，不等式的基本性質(zhì)有三條：

性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)，不等號的方向      。

（讓同學(xué)回答。）

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數(shù)，不等號的方向     。（讓同學(xué)回答。）

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向      。（讓同學(xué)回答。）

現(xiàn)在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質(zhì)。

不等式的這三條基本性質(zhì)，都可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，先請一位同學(xué)說一說第一條基本性質(zhì)。

生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

師：對a和b有什么要求嗎？對c有什么要求？

生：沒有什么要求。

師：哪位同學(xué)來回答第二、三條性質(zhì)？

生甲：如果a<b,且c>0, 那么ac<bc(或     )；如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或

 

 生乙：如果a<b,且c<0, 那么ac>bc(或     )；如果a>b,且c<0,那么ac<bc(或

師：這兩條性質(zhì)中，對a、b、c有什么要求？

生：對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

師：很好，c可以為零嗎？

生：c不能為零。因?yàn)閏為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。

師：好！應(yīng)用剛才學(xué)到的基本性質(zhì)，我們來看下面的例題。

[例1]按照下列條件，寫出仍能成立的不等式：

 （1）5＜9，兩邊都加上-3；

（2）9＞4，兩邊都減去10；

（3）-5＜3，兩邊都乘以4；

（4）14＞-8，兩邊都除以-2。

解 （1）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號的方向不變，所以

       5+（-3）＜9+（-3），

          2＜6

（2）根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得

9-10＞4-10

       -1＞-6

（3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得

       -5×4＜3×4

       -20＜12

（4）根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得

        14÷（-2）＜（-8）÷（-2）

        -7＜4

[例2]設(shè)a＞b，用不等號連結(jié)下列各題中的兩式：

（1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b.

師：哪一位同學(xué)來做這題？解題時，要講清一步的理由。

生甲：因?yàn)閍＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質(zhì)1，得

a-3＞b-3．

師：很好，大家都是這樣做的嗎？

生乙：我是這樣做的，因?yàn)閍＞b,兩邊都加上（-3），由基本性質(zhì)1，得

a-3＞b-3．

師：好！這兩位同學(xué)從不同的角度來分析題目，都得到了正確的結(jié)論。

生丙：因?yàn)閍＞b，2＞0，由基本性質(zhì)2，得2a＞2b。

生丁：因?yàn)閍＞b，-1＞0，由基本性質(zhì)3，得-a＞-b。

師：下面我們來看一組較復(fù)雜的問題，請大家都來開動腦筋，認(rèn)真審題，仔細(xì)分析。[例3]判斷以下各題的結(jié)論是否正確，并說明都理由：

(1)如果a>b,且c>0，那么ac>bd;

(2)如果a>b,那么ac²>bc²;

(3)如果ac²>bc²,那么a>b;

(4) 如果a>b,那么a-b>0;

(5)如果ax>b,且a≠0，那么x<     ;

(6)如果a+b>a;

 

生甲：（1）不對，當(dāng)c=d≤0時，ac＞bd不成立。

生乙：（2）也不對，因?yàn)閏²是一個非負(fù)數(shù)，當(dāng)c=0時，ac²＞bc²不成立。

生丙：（3）對，因?yàn)閍c²＞bc²成立，則c²一定大于零，根據(jù)不等式基本性質(zhì)2，得a＞b出。

（4）對，根據(jù)不等式基本性質(zhì)，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。

（5）不對，當(dāng)a＜0時，根據(jù)不等式基本性質(zhì)3，得 。

（6）不對，因?yàn)楫?dāng)b＜0時，根據(jù)不等式基本性質(zhì)1，得a+b＜a；而當(dāng)b=0時，則有a+b=a。

師：同學(xué)們回答得很好。今天我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)，我們不僅要理解這三條性質(zhì)，還要能靈活運(yùn)用。         

課外做以下作業(yè)：略。

 

教案說明

（1）       不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，是分成兩個階段進(jìn)行的。在初中階段，對不等式的基本性質(zhì)，并不作證明，只引導(dǎo)學(xué)生用試驗(yàn)的方法，歸納出三條基本性質(zhì)。通過試驗(yàn)，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認(rèn)識事物規(guī)律的重要方法�？茖W(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)，大多離不開試驗(yàn)和觀察。大數(shù)學(xué)家歐拉說過：“數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，也需要試驗(yàn)�！蓖ㄟ^教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生掌握由試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，具有重要的意義。當(dāng)然通過幾個特殊的試驗(yàn)，就得出一般的結(jié)論，是不嚴(yán)密的。但對初中學(xué)生來說，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴(yán)密的。

（2）       不等式的基本性質(zhì)的教學(xué)，還應(yīng)采用對比的方法。學(xué)生已學(xué)過等式和等式的性質(zhì)，為了便于和加深對不等式基本性質(zhì)的理解，在教學(xué)過程中，應(yīng)將不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)加以比較：強(qiáng)調(diào)等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個數(shù)，所得到的仍是等式，這個數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數(shù)不能為零）同一個數(shù)，當(dāng)這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零時，對不等式的方向，有什么不同的影響。通過這樣的對比，不但可以復(fù)習(xí)已學(xué)過的等式有關(guān)知識，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質(zhì)。對比的方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法。

（3）       在應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)對不等式進(jìn)行變形時，學(xué)生對不等式兩邊是具體數(shù)，判定大小關(guān)系比較容易。因?yàn)檫@實(shí)際上是有理數(shù)大小的比較。對于不等式兩邊是含字母的代數(shù)式時，根據(jù)題給的條件，運(yùn)用不等式基本性質(zhì)判別大小關(guān)系或不等號方向，就比較困難。因?yàn)樗�比較抽象，特別是在運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)2和性質(zhì)3時，學(xué)生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個用字母表示的數(shù)的符號是什么，或者還要對這個用字母表示的數(shù)，按正數(shù)、負(fù)數(shù)或零三種情況加以討論。在教學(xué)過程中，對于這類題目，采用討論法是比較好的。因?yàn)樵谟懻摃r，學(xué)生可以充分發(fā)表各種見解。對于正確的見解，教師可以讓學(xué)生說出解題的依據(jù)；對于錯誤的見解，教師可以進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，發(fā)動學(xué)生自己找出錯誤的原因，自己修正見解。這樣，有利于發(fā)現(xiàn)問題，有的放矢地解決問題，有利于深化對不等式基本性質(zhì)的認(rèn)識。

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