數(shù)學教案－不等式和它的基本性質(zhì)

教學建議

　　一、知識結(jié)構(gòu)

　　二、重點、難點分析

　　本節(jié)教學的重點是不等式的三條基本性質(zhì)．難點是不等式的基本性質(zhì)3．掌握不等式的三條基本性質(zhì)是進一步學習一元一次不等式（組）的解法等后續(xù)知識的基礎(chǔ)．

　　1．不等式的概念

　　用不等號（“＜”、“＞”或“≠”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式．

　　另外， （“≥”是把“＞”、“＝”）結(jié)合起來，讀作“大于或等于”，或記作“≮”，亦即“不小于”）、 （“≤”是把“＜”、“＝”結(jié)合起來，讀作“小于或等于”，或記作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式．

　　2．當不等式的兩邊都加上或乘以同一個正數(shù)或負數(shù)時，所得結(jié)果仍是不等式．但變形所得的不等式中不等號的方向，有的與原不等式中不等號的方向相同，有的則不相同．因而敘述時不能籠統(tǒng)說成“……仍是不等式”，而應(yīng)明確變形所得的不等式中不等號的方向．

　　3．不等式成立與不等式不成立的意義

　　例如：在不等式 中，字母 表示未知數(shù)．當 取某一數(shù)值 時， 的值小于2，我們就說當 時，不等式 成立；當 取另外某一個數(shù)值 時， 的值不小于2，我們就說當 時， 不等式不成立．

　　4．不等式的三條基本性質(zhì)是不等式變形的重要依據(jù)，性質(zhì)1、2類似等式性質(zhì)，不等號的方向不改變，性質(zhì)3不等號的方向改變，這是不等式獨有的性質(zhì)，也是初學者易錯的地方，因此要特別注意．

 

一、素質(zhì)教育目標

　�。ǎ�）知識教學點

　　1．了解不等式的意義．

　　2．理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法．

　　3．能依題意準確迅速地列出相應(yīng)的不等式．

　　（二）能力訓練點

　　1．培養(yǎng)學生運用類比方法研究相關(guān)內(nèi)容的能力．

　　2．訓練學生運用所學知識解決實際問題的能力．

　�。ㄈ�）德育滲透點

　　通過引導學生分析問題、解決問題，培養(yǎng)他們積極的參與意識，競爭意識．

　�。ㄋ模┟烙凉B透點

　　通過不等式的學習，滲透具有不等量關(guān)系的數(shù)學美．

　　二、學法引導

　　1．教學方法：觀察法、引導發(fā)現(xiàn)法、討論法．

　　2．學生學法：只有準確理解不等號的幾種形式的意義，才能在實際中進行靈活的運用．

　　三、重點·難點·疑點及解決辦法

　�。ㄒ唬┲攸c

　　掌握不等式是否成立的判定方法；依題意列出正確的不等式．

　　（二）難點

　　依題意列出正確的不等式

　�。ㄈ�）疑點

　　如何把題目中表示不等關(guān)系的詞語準確地翻譯成相應(yīng)的數(shù)學符號．

　　（四）解決方法

　　在正確理解不等號的意義后，通過抓住體現(xiàn)不等量的關(guān)系的詞語就能準確列出相應(yīng)的不等式．

　　四、課時安排

　　一課時．

　　五、教具學具準備

　　投影儀或電腦、自制膠片．

　　六、師生互動活動設(shè)計

　　1．創(chuàng)設(shè)情境，通過復習有關(guān)等式的知識，自然導入新課的學習，激發(fā)學生的學習熱情．

　　2．從演示的有關(guān)實驗中，探究相應(yīng)的不等量關(guān)系，從學生的討論、分析中探究代數(shù)式的不等關(guān)系的幾種常見形式．

　　3．從師生的互動講解練習中掌握不等式的有關(guān)知識，并培養(yǎng)學生具有一定的靈活應(yīng)用能力．

　　七、教學步驟

　�。ㄒ唬┟鞔_目標

　　本節(jié)課主要學習依題意正確迅速地列出不等式．

　�。ǘ�）整體感知

　　通過復習等式創(chuàng)設(shè)情境，自然過渡到不等式的學習過程中，又通過細心的分析、審題尋找出正確的不等量關(guān)系，從而列出正確的不等式．

　�。ㄈ�）教學過程（www.gymyzhishaji.com）

　　1．創(chuàng)設(shè)情境，復習導入

　　我們已經(jīng)學過等式和它的基本性質(zhì)，請同學們觀察下面習題，思考并回答：

　�。�1）什么是等式？等式中“＝”兩側(cè)的代數(shù)式能否交換？“＝”是否具有方向性？

　�。�2）已知數(shù)值：－5， ，3，0，2，7，判斷：上述數(shù)值哪些使等式 成立？哪些使等式 不成立？

　　學生活動：首先自己思考，然后指名回答．

　　教師釋疑：①“＝”表示相等關(guān)系，它沒有方向性，等號兩例可以相互交換，有時不交換只是因為書寫習慣，例如方程的解 ．

　�、谂袛鄶�(shù)取何值，等式 成立和不成立實質(zhì)上是在判斷給定的數(shù)值是否為方程 的解，因為等式 為一元一次方程，它只有惟一解 ，所以等式 只有在 時成立，此外，均不成立．

　　【教法說明】設(shè)置上述習題，目的是使學生溫故而知新，為學習本節(jié)內(nèi)容提供必要的知識準備．

　　2．探索新知，講授新課

　　不等式和等式既有聯(lián)系，又有區(qū)別，大家在學習時要自覺進行對比，請觀察演示實驗并回答：演示說明什么問題？

　　師生活動：教師演示課本第54頁天平稱物重的兩個實例（同時指出演示中物重為 克，每個砝碼重量均為1克），學生觀察實驗，思考后回答：演示中天平若不平衡說明天平兩邊所放物體的重量不相等．

　　【教法說明】結(jié)合實際生活中同類量之間具有一種不相等關(guān)系的實例引入不等式的知識，能激發(fā)學生的學習興趣．

　　在實際生活中，像演示這樣同類量之間具有不相等關(guān)系的例子是大量的、普遍的，這種關(guān)系需用不等式來表示．那么什么是不等式呢？請看：

　　 ， ，

　　 ， ，

　　提問：（l）上述式子中有哪些表示數(shù)量關(guān)系的符號？（2）這些符號表示什么關(guān)系？（3）這些符號兩側(cè)的代數(shù)式可以隨意交換位置嗎？（4）什么叫不等式？

　　學生活動：觀察式予，思考并回答問題．

　　答案：（1）分別使用“＜”“＞”“≠”．（2）表示不等關(guān)系．（3）不可以隨意互換位置．（4）用不等號表示不等關(guān)系的式子叫不等式．

　　不等號除了“＜”“＞”“≠”之外，還有無其他形式？

　　學生活動：同桌討論，嘗試得到結(jié)論．

　　教師釋疑：①不等號除“＜”“＞”“≠”外，還有“≥”“≤”兩種形式（“≥”是指“＞”與“＝”結(jié)合起來，讀作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”讀作“小于或等于”，也可理解成“不大于”．）現(xiàn)在，我們來研究用“＞”“＜”表示的不等式．

　�、诓坏忍枴埃尽薄埃肌北硎静坏汝P(guān)系，它們具有方向性，因而不等號兩側(cè)不可互交換，例如 ，不能寫成 ．

　　【教法說明】①通過學生自己觀察思考，進而猜測出不等式的意義，這種教法充分發(fā)揮了學生的主體作用．

　　②通過教師釋疑，學生對不等號的種類及其使用有了進一步的了解．

　　3．嘗試反饋，鞏固知識

　　同類量之間的大小關(guān)系常用“＞”“＜”來表示，請同學們根據(jù)自己對不等式的理解，解答習題．

　�。�1）用“＜”或“＞”境空．（搶答）

　　①4___－6；②－1____0③－8___－3；④－4.5___－4．

　�。�2）用不等式表示：

　�、� 是正數(shù)；② 是負數(shù)；③ 與3的和小于6；④ 與2的差大于－1；⑤ 的4倍大于等于7；⑥ 的一半小于3．

　　（3）學生獨立完成課本第55頁例1．

　　注意：不是所有同類量都可以比較大小，例如不在同一直線上的兩個力，它們只有等與不等關(guān)系，而無大小關(guān)系，這一點無需向?qū)W生說明．

　　學生活動：第（l）題搶答；第（2）題在練習本上完成，由兩個學生板演，完成之后，由學生判斷板演是否正確

　　教師活動：巡視輔導，統(tǒng)計做題正確的人數(shù)，同時給予肯定或鼓勵．

　　【教法說明】①第（1）題是為了調(diào)動積極性，強化競爭意識；第（2）題則是為了訓練學生書面表述能力．

　�、诮虒W時要注意引導學生將題目中表示不等關(guān)系的詞語翻譯成相應(yīng)的不等號，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示．

　　下面研究什么使不等式成立，請同學們嘗試解答習題：

　　已知數(shù)值；－5， ，3，0，2，－2.5，5.2；

　�。�1）判斷：上述數(shù)值哪些使不等式 成立？哪些使 不成立？

　　（2）說出幾個使不等式 成立的 的數(shù)值；說出幾個使 不成立的 數(shù)值．

　　學生活動：同桌研究討論，嘗試得到答案．

　　教師活動：引導學生回答，使未知數(shù) 的取值不僅有正整數(shù)，還有負數(shù)、零、小數(shù)．

　　師生總結(jié)：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等號兩側(cè)數(shù)值的大小關(guān)系與不等另一致，稱不等式成立；否則不成立．例如對于 ；當 時， 的值小于6，就說 時不等式 成立；當 時， 的值不小于6，就說 時， 不成立．

　　【教法說明】通過學生自己舉例，培養(yǎng)他們運用已有的知識探索新知識的意識，同時也活躍了課堂氣氛．

　　4．變式訓練，培養(yǎng)能力

　�。�1）當 取下列數(shù)值時，不等式 是否成立？

　�。�7，0，0.5，1， ，10

　�。�2）①用不等式表示： 與3的和小于等于（不大于）6；

　　②寫出使上述不等式成立的幾個 的數(shù)值；

　　③ 取何值時，不等式 總成立？取何值時不成立？

　　學生在練習本上完成1題，2題，同桌訂正；教師抽查，強調(diào)注意事項．

　　【教法說明】

　�、偈箤W生進一步了解使不等式成立的未知數(shù)的值可以有多個，為6.2講解不等式的解集做準備．

　　②強化思維能力和歸納總結(jié)能力．

　�。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴展

　　學生小結(jié)，師生共同完善：

　　本節(jié)課的重點內(nèi)容：1．掌握不等式是否成立的判斷方法；2．依題意列出正確的不等式．

　　注意：列不等式時，要注意把表示不等關(guān)系的詞語用相慶的不等號來表示．例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，這一點學生容易出現(xiàn)錯誤．

　　八、布置作業(yè)

　�。ㄒ唬┍刈鲱}：P61  A組1，2，3．

　�。ǘ�）選做題：

　　1．單項選擇

　�。�1）絕對值小于3的非負整數(shù)有（　）

　　A．1，2　　B．0，1　　C．0，1，2　　D．0，1，3

　�。�2）下列選項中，正確的是（　）

　　A． 不是負數(shù)，則

　　B． 是大于0的數(shù)，則

　　C． 不小于－1，則

　　D． 是負數(shù)，則

　　2．依題意列不等式

　�。�1） 的3倍與7的差是非正數(shù)

　　（2） 與6的和大于9且小于12

　�。�3）A市某天的最低氣溫是－5℃，最高氣溫是10℃，設(shè)這天氣溫為 ℃，則 滿足的條件是____________________．

　　【設(shè)計說明】1．再現(xiàn)本節(jié)重點，鞏固所學知識．

　　2．有層次性地布置作業(yè)，可以調(diào)動全體學生的學習積極性，這也是實施素質(zhì)教育的具體體現(xiàn)．

　　參考答案

　　1．＜，＜，＞，＞，＜，＜

　　2．5.2，6，8.3，11是 的解，－10，－7，－4. 5，0，3不是解

　　3．（1） �。�2） 　（3） �。�4）

　　（二）1．（1）C　　（2）D

　　2．（1） 　�。�2） 　�。�3）

　　九、板書設(shè)計

6.1  不等式和它的基本性質(zhì)（一）

　　一、什么叫不等式？

　　用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等關(guān)系的式子叫不等式．

　　重點研究“＞”“＜”

　　二、依題意列不等式

　　“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；

　　三、不等式 能否成立

　　 時， （√）； 時， （×）；

　　 時， （×）

　　四、歸納總結(jié)重點

　　（一）依題意列不等式．

　�。ǘ�）會判斷不等式是否成立．

　　十、背景知識與課外閱讀

費  馬  數(shù)

　　費馬（P．de Fermat）是17世紀法國著名數(shù)學家，是法國南部土魯斯議會的議員，他在數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻．他無意發(fā)表自己的著作，平生沒有完整的著作問世．去世后，人們才把他寫在書頁空白處和給朋友的書信中，以及一些陳舊手稿中的論述收集匯編成書．費馬特別愛好數(shù)論，在這方面有好幾項成就，如費馬數(shù)、費馬小定理、費馬大定理等．

　　費馬于1640年前后，在驗算了形如

　　　　

　　的數(shù)當 的值分別為

　　　　3，5，17，257，65537

　　后（請注意這些數(shù)均為質(zhì)數(shù)）便宣稱：對于為任何自然數(shù)，是質(zhì)數(shù)．

　　大約過了100年，1732年數(shù)學家歐拉（L．Euler）指出

　　　　 ．

　　從而否定了費馬的上述結(jié)論（猜想）．

　　爾后，人們又對 進行了大量研究，發(fā)現(xiàn)在 中，除了上述五個質(zhì)數(shù)外，人們尚未再發(fā)現(xiàn)新的質(zhì)數(shù)．

　　雖然費馬的這個猜想是錯誤的，但為了紀念這位數(shù)學家，人們?nèi)园堰@種形式的數(shù)叫做費馬數(shù)．

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