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數(shù)學 - 函數(shù)的對稱性與周期性
涉及不可顯示內(nèi)容過多,請單擊此處打開或右鍵另存為下載對稱性:函數(shù)圖象存在的一種對稱關系,包括點對稱和線對稱。
周期性:設函數(shù) 的定義域是 ,若存在非零常數(shù) ,使得對任何 ,都有 且 ,則函數(shù) 為周期函數(shù), 為 的一個周期。
對稱性和周期性是函數(shù)的兩大重要性質(zhì),他們之間是否存在著內(nèi)在的聯(lián)系呢?本文就來研究一下它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,有不足之處望大家批評指正。
一、一個函數(shù)關于兩個點對稱。
命題1:如果函數(shù) 的圖象關于點 和點 對稱,那么函數(shù) 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
證明:∵函數(shù) 的圖象關于點 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關于點 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴ 即:
∴ 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
特例:當 時, 為奇函數(shù),即奇函數(shù) 如果又關于點 對稱,那么函數(shù) 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
命題 :如果函數(shù) 的圖象關于兩點 和 對稱,那么:
當 , 時, 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
當 , 時, 不是周期函數(shù)。
證明:∵函數(shù) 的圖象關于點 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關于點 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
當 , 時
∴
即:
∴當 , 時, 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
當 , 時
∴
∴
∴當 , 時, 不是周期函數(shù)。
當 , 時
∴ (與條件矛盾,舍去)
綜合得原命題成立。
二、一個函數(shù)如果關于一個點和一條線對稱。
命題2:如果函數(shù) 的圖象關于點 和直線 對稱,那么函數(shù) 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
證明:∵函數(shù) 的圖象關于點 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關于直線 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴ 即:
∴
即:
∴ 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
特例:當 時, 為奇函數(shù),即奇函數(shù) 如果又關于直線 對稱,那么函數(shù) 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
命題 :如果函數(shù) 的圖象關于點 和直線 對稱,那么函數(shù) 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
證明:∵函數(shù) 的圖象關于點 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關于直線 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴
即:
∴
即:
∴ 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
三、一個函數(shù)如果關于兩條線對稱。
命題3:如果函數(shù) 的圖象關于直線 和直線 對稱,那么函數(shù) 是以 為周期的周期函數(shù)。
證明:∵函數(shù) 的圖象關于直線 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
又∵函數(shù) 的圖象關于直線 對稱,
∴ 對定義域內(nèi)的所有 成立。
從而
∴ 即:
∴
∴ 是以 為周期的周期函數(shù)。
特例:當 時, 為偶函數(shù),即偶函數(shù) 如果又關于直線 對稱,那么函數(shù) 是周期函數(shù), 為函數(shù) 的一個周期。
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