數(shù)學(xué) - 斜三角形的“一題多解”

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一題多解的“解”,若當(dāng)作解法,即為一道題有多種解法,但數(shù)學(xué)中把解又當(dāng)作結(jié)果,所以也可理解為一道題有多種結(jié)果.通常人們是以第一種解釋為多,這里筆者想借此談點(diǎn)教學(xué)解斜三角形時(shí)的一些新想法.
解斜三角形,就是利用三角形的已知元素,求出未知元素的過(guò)程.其原理是正弦定理.條件必須滿足3個(gè),就是在斜三角形三角三邊個(gè)元素中,必須已知其中的三個(gè),而已知三個(gè)角時(shí),三角形不確定,所以三個(gè)條件中至少要有一條邊.這樣我們可以把已知條件分為三種類型:1、已知三邊.由定理可知,要用余弦定理開解;2、已知兩角一邊.因?yàn)槿�角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°,所以實(shí)際是已知三角一邊,由定理可知,不管是已知夾邊還是對(duì)邊,用正弦定理都可以解;3、已知兩邊一角.這種類型要注意.由定理可知,若是已知夾角要用余弦定理來(lái)解.經(jīng)過(guò)這樣的分析,我們可以進(jìn)行總結(jié)并歸納為口訣:“三邊必定用余弦,還有兩邊夾一角;正弦兩邊一對(duì)角,雙角必定用正弦.”
有了定理,有了口訣,只是初步掌握.請(qǐng)看例一:在△ABC中,已知∠A=45°,a=2,b=2,求∠B.簡(jiǎn)解為: 。例二：在 中，已知 求 ，簡(jiǎn)解為： 且 或 。以上兩例,同樣是正弦定理,卻存在著一解或兩解的問(wèn)題,按照“大邊對(duì)大角,小邊對(duì)小角”的原則,例一是已知大邊對(duì)大角,求小邊的對(duì)角,只能有一解,而例二是已知小邊對(duì)小角,求大邊的對(duì)角,則有銳角和鈍角兩種結(jié)果.這種“一題多解”的問(wèn)題因該特別小心,不能出現(xiàn)漏解或是增解的情況.在斜三角中,已知三邊,已知兩角一邊和已知兩邊一夾角時(shí),三角形都是唯一確定的;一有已知兩邊一對(duì)角時(shí),才有可能出現(xiàn)一解、兩解或是無(wú)解的情況.這里“大邊對(duì)大角”的原則起著決定性的作用.
有了定理,有了口訣,有了原則,還要能靈活運(yùn)用各種不同的解法,以求達(dá)到“一題多解”.請(qǐng)看例三:在△ABC中,已知∠A=30° 求c。簡(jiǎn)解為：由正弦定理得： 且 或 。當(dāng) ，則 ，當(dāng) 則 所以， 。這是已知兩邊一對(duì)角的情形,按口訣應(yīng)該用正弦定理如上所解,但是用余弦定理也是可行的.簡(jiǎn)解為:由公式 ，代入得 ,化簡(jiǎn) ， ，所以,或 ＝8或 ＝4,此法不僅簡(jiǎn)潔且不會(huì)漏解,值得重視.

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