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《最大公約數(shù)》教學(xué)設(shè)計與思考
《最大公約數(shù)》教學(xué)設(shè)計與思考
作者:江蘇省睢寧實驗小學(xué) 杜義超
一 指導(dǎo)思想
人教版與蘇教版教材中對最大公約數(shù)認(rèn)識的編排順序是相同的：分別找出兩個數(shù)的約數(shù)→比較，生成公約數(shù)、最大公約數(shù)的概念→會求兩個數(shù)的最大公約數(shù)→應(yīng)用（最大）公約數(shù)知識解決實際問題。
沿這種思路設(shè)計教學(xué)，學(xué)生對新知的接受常是被動的，并且也只能達(dá)成“知識與技能”單一教學(xué)目標(biāo)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力，情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”在這新的教學(xué)理念指導(dǎo)下，怎樣結(jié)合學(xué)生的實際生活，在運用知識解決問題的實踐操作中，經(jīng)歷知識產(chǎn)生過程，萌發(fā)創(chuàng)造新知需要，并完成對新知的建構(gòu)呢？
二 教學(xué)設(shè)計
1．觀察——感知生活數(shù)學(xué)
學(xué)習(xí)約數(shù)與倍數(shù)之后，布置學(xué)生回家觀察客廳或臥室，也可到廣場上，看看所貼的地板磚數(shù)是否正好為整數(shù)塊數(shù)（沒有切割）。如果是，沿著長鋪了多少塊？沿著寬鋪了多少塊？測量一方磚的邊長和房間的長、寬，方磚的邊長與房間的長、寬分別是什么關(guān)系？
2．思考——理解數(shù)學(xué)問題
課堂教學(xué)伊始，投影出貼了地板磚的長方形廣場平面圖。學(xué)生能夠用約數(shù)、倍數(shù)知識解釋課前觀察到的數(shù)學(xué)問題：長方形廣場的長是方磚邊長的m倍，寬是方磚邊長的n倍。也可以說方磚的邊長既是長方形長的約數(shù)，又是長方形寬的約數(shù)。與師生交流之后，再出示一個新的問題：我們學(xué)校的畫廊高1.2米（12分米），長是3米（30分米），美術(shù)組的同學(xué)想在上面正好貼滿大小相同的正方形裝飾畫，這種裝飾畫的邊長應(yīng)為多少分米（取整數(shù)）？會有幾種不同的正方形？
3．實驗——建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
學(xué)生在對畫廊設(shè)計問題處于憤悱狀態(tài)之時，老師借用長方形紙作示范引導(dǎo)：這是一張長15cm，寬10cm的長方形紙，我們可以把它設(shè)想為縮小后的校園畫廊，（當(dāng)然也可以想象為客廳或廣場的地面）老師在這張長方形紙上設(shè)計了兩種不同的小正方形，（實物投影出示另一張畫了方格的長方形紙）其中一面的小正方形邊長為1cm，另一面的小正方形邊長為5cm，它們同樣整分了這張長方形紙而無剩余。想一想，小正方形邊長除了1cm和5cm以外，還會有其它整厘米數(shù)嗎？根據(jù)剛才自己的理解，請拿出課前準(zhǔn)備好的一張長12cm、寬8cm的長方形紙，仿效老師的做法，設(shè)計能正好整分這個長方形紙的小正方形，在紙上畫一畫，看一看有幾種不同的畫法設(shè)計，再想一想其中有什么規(guī)律？
4．總結(jié)——創(chuàng)造數(shù)學(xué)新知
學(xué)生完成上一步操作以后，投影展示學(xué)生設(shè)計的作品，（會有三種不同的設(shè)計：小正方形的邊長分別為1cm、2cm、4cm）引導(dǎo)學(xué)生表述自己的想法，交流發(fā)現(xiàn)規(guī)律：因為小正方形要正好整分大長方形，那么，小正方形的邊長既要能整除大長方形的長，也要能整除長方形的寬。也就是說小正方形的邊長數(shù)1、2、4、既是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)。同理，1和5既是15的約數(shù)，也是10的約數(shù)。
至此，通過鋪方磚的生活常識及幾何中長、正方形關(guān)系的設(shè)計操作，學(xué)生實際上已初步感知和理解了公約數(shù)的存在及其在生活中的應(yīng)用。此時，再引導(dǎo)學(xué)生通過命名的形式抽象出新的數(shù)學(xué)概念—公約數(shù)：請你根據(jù)1、2、4分別與12和8共有的關(guān)系給這幾個數(shù)取一個新的名稱，師板書：1、2、4是12和8的（ ），待學(xué)生大都滿意之后再板書：4是12和8的（ ）。
板書設(shè)計如下：(單位：厘米)
1是10的約數(shù)，也是15的約數(shù) 1是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)
5是10的約數(shù)，也是15的約數(shù) 2是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)
4是12的約數(shù)，也是8的約數(shù)
1、5是15和10的( 公約數(shù) ) 1、2、4是12和8的(公約數(shù) )
5是15和10的( 最大公約數(shù) ) 4是12和8的(最大公約數(shù))
5．應(yīng)用——解決實際問題
先解決畫廊的裝飾畫設(shè)計，再解答小明分蛋糕的疑難：小明過生日的時候，媽媽給他訂了一個大的長方體蛋糕，長42 cm、寬30 cm、高24 cm，小明想把它均勻地切成大小相同的正方體后，再送給每一位客人，他怎樣切才能使蛋糕盡可能大一些？至少可以切成多少塊？
三 教學(xué)反思
1．重視數(shù)學(xué)思想——使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)終身受益
日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益�！睆倪@個教學(xué)的設(shè)計中我們可以看到，教學(xué)中不只是讓學(xué)生接受一個概念知識或一種求最大公約數(shù)的方法；不只是注重數(shù)學(xué)形式層面的教學(xué)，而是更重視數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)層面的教學(xué)，即讓學(xué)生在經(jīng)歷“數(shù)學(xué)家”解決問題的過程中去理解、去感受一種數(shù)學(xué)的思想和觀念──數(shù)學(xué)化思想。學(xué)生先是感知地板磚中隱含的數(shù)學(xué)，會用約數(shù)、倍數(shù)知識解釋簡單的生活現(xiàn)象，進(jìn)而思考并嘗試解決畫廊內(nèi)裝飾畫的設(shè)計，學(xué)生自然會聯(lián)想到地板磚中數(shù)學(xué)知識。但是，從解釋到應(yīng)用設(shè)計，在沒有學(xué)習(xí)公約數(shù)的情況下會存在較大的難度。于是，創(chuàng)設(shè)了做數(shù)學(xué)的空間。讓他們在設(shè)計正方形的過程中，逐漸感知公約數(shù)的存在，建立了解決這種問題的數(shù)學(xué)模型。再反思與總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自己創(chuàng)造了“公約數(shù)”與“最大公約數(shù)”的概念。
數(shù)學(xué)化思想觀念是指用數(shù)學(xué)眼光去認(rèn)識和處理周圍事物或數(shù)學(xué)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的“用數(shù)學(xué)”意識，使數(shù)學(xué)關(guān)系成為學(xué)生的一種思維模式。而我們的課堂中，大多還是圍繞知識就事論事，沒有從形成學(xué)生思維模式的角度去展開知識形成和問題解決的思維過程，去注重現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想，去隱含重要的數(shù)學(xué)方法，這樣，學(xué)生學(xué)到的只是知識的堆砌，沒有自主的發(fā)展和對數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟。
2．注重學(xué)習(xí)體驗——讓課堂煥發(fā)生命活力
撲面而來的新基礎(chǔ)教育課程改革的浪潮強(qiáng)列地震撼著知識為本的傳統(tǒng)課堂教學(xué)，關(guān)注生活、關(guān)愛學(xué)生、關(guān)照生命等極具時代氣息的教學(xué)理念呼喚著以人為本的課堂。
注意學(xué)習(xí)過程中的感悟、體驗是本節(jié)課設(shè)計的又一重點 。觀察、測量中感悟生活中的教學(xué)；對長方形紙中小方格設(shè)計的探索；總結(jié)、反思中感知公約數(shù)的存在；解決較復(fù)雜的分蛋糕問題時體會公約數(shù)的作用。教學(xué)中的各個環(huán)節(jié)，都較好地發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，在動手操作與設(shè)計中建構(gòu)了新舊知識的聯(lián)系。經(jīng)歷了從現(xiàn)實生活中抽象出(最大)公約數(shù)的概念，在做數(shù)學(xué)的過程中體驗了數(shù)學(xué)的真實意義。
華師大葉瀾教授提出了“教育的生命基礎(chǔ)”理論，主張“教育具有提升人的生命價值和創(chuàng)造人的精神生命的意義，對生命潛能的開發(fā)和發(fā)展需要的滿足，教育具有不可替代的重要責(zé)任�！币詫W(xué)生的經(jīng)驗與活動為基礎(chǔ)，以學(xué)生的積極參與、身心投入為前提，以學(xué)生的自主體驗為核心的注重學(xué)生體驗的教學(xué)活動，能夠提升學(xué)生的生命質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生和諧發(fā)展。如果教學(xué)過程僅是師生間簡單的知識“授一受”過程，剝奪學(xué)生對知識的主體性體驗，必然使他們養(yǎng)成被動而不是主動的，依賴而不是獨立的，接受而不是創(chuàng)造的體驗。那就會喪失了求知的欲望、體驗的沖動和創(chuàng)造的才能，課堂學(xué)習(xí)中學(xué)生的生命意義就無從體現(xiàn)。所以《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，把目標(biāo)區(qū)分為知識技能目標(biāo)和過程性目標(biāo)，而過程性目標(biāo)中的“經(jīng)歷、體驗、探索”也可理解為學(xué)生的體驗過程。體現(xiàn)了《標(biāo)準(zhǔn)》對學(xué)生在數(shù)學(xué)思考、解決問題、以及情感與態(tài)度等方面要求的同時，隱含了對學(xué)生生命質(zhì)量的關(guān)注和重視。
3．開發(fā)教學(xué)資源——師生同為資源創(chuàng)生的主體
教材只是供教學(xué)使用的一種材料，不是一成不變的經(jīng)典。面對新課程標(biāo)準(zhǔn)，教師要有強(qiáng)烈的課程資源開發(fā)意識，不僅自己能針對學(xué)習(xí)內(nèi)容開發(fā)出有利學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的新材料，而且要善于引導(dǎo)學(xué)生去尋找和發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源。在本節(jié)課的教學(xué)中，除了教師提示的臥室(廣場)地板磚，畫廊設(shè)計、分蛋糕之外，學(xué)生也列舉了許多類似的現(xiàn)象：教室內(nèi)水磨石地面，銀行墻壁上的方形面磚，家中客廳頂部木質(zhì)方塊的裝飾……學(xué)生在資源的識別與解釋中，逐步掌握了(最大)公約數(shù)的知識，為今后創(chuàng)造性的運用知識打下了良好的基礎(chǔ)。
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